Parametrisering...

[meCarnival]

Har litt startproblemer med denne oppgaven...:

Jeg har sett litt hos databasen Per, generelt nettet og søkt i forumet, men så og si alt herjer omkring rette linjer...

Så lest boka mi en rekke ganger og første delkapitel bare forklarer hva en datamaskin kan få ut av sånt og hvorfor det er vrient for oss og tegne vanskelige parameterfremstillinger... Det er jo innlysende osv og det er vel ikke mange formler innenfor dette slik jeg skjønte... Sett litt i eget formelhefte vi har fått utdelt og fortsatt ser jeg ikke helt hvordan jeg skal starte, altså finne funksjonen til kurven, K i denne oppgaven...


Oppgave:
Et kurvestykke, K er gitt ved parameterframstillingen
[tex]x(t) = t - \frac{1}{3}t^3[/tex]
[tex]y(t) = \frac{9}{2} - t^2[/tex]

[tex]t \in [0,3][/tex]

a) Finn største verdi for x på K, og skisser K. Finn lengden av K

b) K og y-aksen avgrenser et flatestykke. Finn arealet av dette flatestykket.

c) Fin koordinatene til det punktet på K som ligger nærmest orgio.


Trenger tips til formel eller noe ala for å komme igang for å finne formelen som gjør jeg får ut funksjonen som får frem K!

Jeg prøvde nå sist og sette inn [tex]y(t)[/tex] uttrykt mhp t og sette inn i [tex]x(t)[/tex]... og derivere det og sette lik null... Fikk [tex]x_{max} = \frac{7}{2}[/tex] men skal være [tex]\frac{2}{3}[/tex]...

Kan også nevnes at jeg fikk et rimelig stygt uttrykk når jeg gjorde det!

[Vektormannen]

Hvorfor setter du x-uttrykket inn i y-utrykket for å finne når x er størst? Det er jo bare til å derivere x(t) med hensyn på t og sette lik 0 for å finne for hvilken t x er størst, og så hive t-verdien inn i x(t) etterpå.

[meCarnival]

Nettopp... Prøvd det også, men kastet seff inn t-verdien inn igjen.. haha, flaut..

[meCarnival]

Men ja.. må vel ha en funksjon av K til videre utregning, det er den jeg i hovedsak er på jakt etter... Sånn å tegne kurven K f.eks...?

Står bare om sirkler og sin og cos i boka så veldig lite å gå ut fra når de driver å bytter ut i formler som de har i boka så ser veldig lett ut, men ikke når jeg har noe annet i min oppgave å gå utifra...
Foreleseren skriver også mye fra boka så spent på hva som kommer til å komme i forelesingene angående dette emnet

[Vektormannen]

Du kan ikke helt uten videre gjøre K om til en funksjon. Grunnen til at det blir brukt en parameterfremstilling her er at kurven ikke kan representeres av en funksjon. I funksjonsbegrepet ligger det at det for en x-verdi svarer én og bare én y-verdi. Grafisk vil det si at det ikke kan finnes flere punkt på kurven direkte ovenfor hverandre. Men på denne grafen gjør det det, og da må en parameterframstilling brukes.

For å tegne kurven bruker du jo bare x- og y-funksjonene du har? Og for å finne buelengden: se her.

[meCarnival]

Ok, Takker for kjappe svar Vektormannen...

Da har jeg noe å titte på utover kvelden etter jeg har ryddet i mitt klesskap på par kvadratmeter så jeg får litt gulvplass på soverommet

Kommer tilbake hvis det er noe som er uklart jeg...

[meCarnival]

Prøvde meg på b.. men vet ikke helt om jeg skjønte hvilke grenser jeg skal ha utifra denne formlen:

[tex]\int_\alpha^\beta y \cdot x^, dt[/tex]


Prøvde med x-aksen mellom 0 og 1, tiden mellom 0 og 3.. Men jeg vet ikke når tiden krysser y-aksen den andre gangen? Lurer litt på om det er nettopp det jeg skal finne ut på en eller annen finurlig måte? Hint i denne retning med takk ja

[Vektormannen]

Jeg har ikke lært å integrere parameterfunksjoner. Men for å finne det andre krysningspunktets t-verdi setter du jo bare x(t) = 0. Da får du ut to t-verdier, en for hvert krysningspunkt.

[Janhaa]

Prøvde meg på b.. men vet ikke helt om jeg skjønte hvilke grenser jeg skal ha utifra denne formlen:
[tex]\int_\alpha^\beta y \cdot x^, dt[/tex]
Prøvde med x-aksen mellom 0 og 1, tiden mellom 0 og 3.. Men jeg vet ikke når tiden krysser y-aksen den andre gangen? Lurer litt på om det er nettopp det jeg skal finne ut på en eller annen finurlig måte? Hint i denne retning med takk ja

du finner lett grensene til t ved å sette x(t) = 0. dvs t = 0 til t = [symbol:rot]3. Slik at
[tex]A=\int_0^{\sqrt3} y\cdot \dot{x}\,dt[/tex]

edit; korrigerte til riktig areal.

[meCarnival]

Føler jeg gjorde den oppgaven er farlig mye vanskeligere enn jeg trengte ... Tenkte ikke over det at jeg får begge tidene pga den krysser x=0 to ganger...

Men den halve i den formlen din? Hvor får du den fra? Jeg løste den uten den halve foran og fikk svaret i fastiet.. + at den står i formelheftet uten den halve foran.. =/

[Janhaa]

Men den halve i den formlen din? Hvor får du den fra? Jeg løste den uten den halve foran og fikk svaret i fastiet.. + at den står i formelheftet uten den halve foran.. =/

Var nok denne jeg tenkte på først,

[tex]A={1\over 2}\int_{t1}^{t2}\left(x\dot y\,-\,\dot x y\right)\,dt[/tex]

[meCarnival]

Hvordan blir det med deloppgave c når jeg ikke kan bruke noen formler som jeg kjenner... Driver jo med parametrisering og det er ikke samme som funksjon til grafen akkurat...

Er det noe som har med [tex]\frac{\Delta y(t)}{\Delta x(t)}[/tex] ?

Men forteller meg ikke om noe punkt som jeg finner som nærmest... Være noe som forteller meg at et punkt er nærmere enn noe annet...

[Vektormannen]

edit: glem

[Gustav]

Hvordan blir det med deloppgave c når jeg ikke kan bruke noen formler som jeg kjenner... Driver jo med parametrisering og det er ikke samme som funksjon til grafen akkurat...

Er det noe som har med [tex]\frac{\Delta y(t)}{\Delta x(t)}[/tex] ?

Men forteller meg ikke om noe punkt som jeg finner som nærmest... Være noe som forteller meg at et punkt er nærmere enn noe annet...

Blir vel bare å minimere avstanden fra et punkt på K til origo (som er gitt som [tex]\sqrt{x^2+y^2}[/tex], så sett

[tex]\frac{d}{dt}\sqrt{x^2+y^2}=0[/tex]

Her er det selvsagt viktig å huske at du må sjekke avstanden til origo for punktene t=0 og t=3 for å sammenligne med evt. minima i intervallet.

[meCarnival]

Ja... Vet om r^2 = x^2 + y^2 så derivere det og sett lik null så får jeg ut hvor lang linjen til nærmeste punkt er da?