Hei
Har kjørt meg litt fast på en oppgave her, og håper noen kan hjelpe meg litt:
I pyramiden ABCT med toppunkt T er M midtpunktet på sidekanten CT. Vi setter:
[tex]\vec{a}=\vec{AB}[/tex]
[tex]\vec{b}=\vec{AC}[/tex]
[tex]\vec{c}=\vec{CT}[/tex].
Et punkt P er fastsatt ved at:
[tex]\vec{BP}= \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{8}\vec{b}+\frac{1}{8}\vec{c} [/tex]
Finn ut om punktene B, P og M ligger på linje.
Hvordan kan jeg "angripe" dette? Tenkte å prøve å bevise at vektorene er parallelle, men det blir bare rot (hadde vært lettere hvis det hadde vært koordinater) :/.
På forhånd takk.
Vektorregning, 3MX: Vise at punkter ligger på linje?
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Punktene ligger på linje hvis og bare hvis
[tex]\vec{BP}\times \vec{BM}=0[/tex]
[tex]\vec{BM}=\vec{BC}+\frac{1}{2}\vec{CT}[/tex]
[tex]\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}=-\vec{a}+\vec{b}[/tex]
[tex]\vec{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}[/tex]
[tex]\vec{BP}\times \vec{BM}=0[/tex]
[tex]\vec{BM}=\vec{BC}+\frac{1}{2}\vec{CT}[/tex]
[tex]\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}=-\vec{a}+\vec{b}[/tex]
[tex]\vec{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}[/tex]
Ikke skalarprodukt, men kryssprodukt;)
Men det er kanksje mer hensiktmessig å løse oppgaven ved å observere at det tre vektorene a,b,c er lineært uavhengige. Sett at \vec{BM}=k\vec{BP} for en konstant k, og sleng alt over på en side. Da må alle koeffisientene være 0 hvis alle punktene er på linje. Sjekk om det er mulig eller om du får en selvmotsigelse, dvs sjekk om en slik k er mulig/eksisterer.
Men det er kanksje mer hensiktmessig å løse oppgaven ved å observere at det tre vektorene a,b,c er lineært uavhengige. Sett at \vec{BM}=k\vec{BP} for en konstant k, og sleng alt over på en side. Da må alle koeffisientene være 0 hvis alle punktene er på linje. Sjekk om det er mulig eller om du får en selvmotsigelse, dvs sjekk om en slik k er mulig/eksisterer.
Har prøvd meg litt frem nå, men får det ikke helt til:
[tex]\vec{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}[/tex]
[tex]\vec{BM}=k\cdot \vec{BP}[/tex]
[tex]-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}=k\cdot \left( \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{8}\vec{b}+\frac{1}{8}\vec{c}\right)[/tex]
Finner ingen verdi for k som gjør at vektorene som gjør at de blir like ... Men fasiten sier at punktene skal ligge på linje.
På forhånd takk.
[tex]\vec{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}[/tex]
[tex]\vec{BM}=k\cdot \vec{BP}[/tex]
[tex]-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}=k\cdot \left( \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{8}\vec{b}+\frac{1}{8}\vec{c}\right)[/tex]
Finner ingen verdi for k som gjør at vektorene som gjør at de blir like ... Men fasiten sier at punktene skal ligge på linje.
På forhånd takk.
Lurte forresten på en ting til. Det at kryssproduktet til to vektorer er null, betyr det at vinkelen mellom dem ligger på linje - og derfor at punktene ligger på linje? Er dette en generell regel?
Har lest meg litt opp på dette med kryssprodukt, og det virker mye elegant enn å sjekke om de er parallelle etc.
Har lest meg litt opp på dette med kryssprodukt, og det virker mye elegant enn å sjekke om de er parallelle etc.
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Stemmer, hvis kryssproduktet er 0 så er vinkelen mellom vektorene 0 eller 180 grader, og da er vektorene parallelle.
Elektronikk @ NTNU | nesizer