Sannsynlighetsregning; standard deviation

[FredrikM]

Hei!

Dette spørsmålet går igjen som sistespørsmål på oppgavene i sannsynlighetsregningboken. Tar en oppgave som eksempel:

A geologist has collected 10 specimens of basaltic rock and 10 specimens of granite. The geologist instructs a laboratory assistant to randomly select 15 of the specimens for analysis.
.
.
.
c) What is the probability that the number of granite specimens selected for analysis is within 1 standard deviation of its mean value?

Har regnet ut [tex]E(X) = 7.5[/tex], og [tex]\sigma_X = 1.986... \approx 2[/tex]. Men der stopper ting opp.

Hint og forklaringer mottas med utstrakte armer.

[zell]

Vil det ikke bare bli:

[tex]P(\mu - \sigma_X \ \underline{<} \ X \ \underline{<} \ \mu + \sigma_x ) = P(5.5 \underline{<} X \underline{<} 9.5)[/tex] ?

[FredrikM]

Jo, men hvordan regner jeg ut det? Sannsynligheten er jo ikke definert for annet enn heltall.

[Janhaa]

Jo, men hvordan regner jeg ut det? Sannsynligheten er jo ikke definert for annet enn heltall.

blir vel slik:

[tex]P(\leq 5,5 x \leq 9,5)=\Phi(\frac{9,5-7,5}{2})\,-\,\Phi(\frac{5,5-7,5}{2})=\Phi(1)\,-\,\Phi(-1)=2\Phi(1)\,-\,1[/tex]

[Gustav]

Det er riktig, men det ligger i bakgrunnen en antagelse om at fordelingen er normalfordelt. Det er vel en fin øvelse å argumentere for hvorfor... Hvis du skal få full poengsum på en eksamen går jeg ut fra at man bør skrive en ørliten kommentar om dette.

[FredrikM]

Hm. Vi har ennå ikke hatt om normalfordeling. Kan det forklares hva [tex]\Phi[/tex] er for noe?

[drgz]

Hm. Vi har ennå ikke hatt om normalfordeling. Kan det forklares hva [tex]\Phi[/tex] er for noe?

[tex]\Phi(x)_{\mu_{x},\sigma_{x}^{2}}[/tex] er den kumulative distribusjonen av/til normalfordelingen, dvs integralet over sannsynlighetstetthetsfunksjonen.

[tex]\Phi(x)_{\mu_{x},\sigma_{x}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{(x-\mu_{x})^2}{2\sigma_{x}^{2}}}\rm{d}x[/tex]

http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

[FredrikM]

Takker for alle svar.

Det viste seg imidlertid at det riktige svaret var enklere enn som så.

Sannsynligheten jeg skulle finne var
[tex]P(|X-\mu|<\sigma_x)[/tex]

Siden det er snakk om punktsannsynlighet, måtte jeg bare summere alle punktsannsynlighetene som lå innenfor det tillatte intervallet.