Matrise oppgave...

[meCarnival]

Hei igjen...

Vet ikke helt hva jeg skal søke på og finner lite når det gjelder forslag på lignende oppgaver på nett... Men prøvd meg litt frem og kommer frem med dette:

Løs mph X:

[tex]A(B^{-1}XA)^{-1}=A^T[/tex]

[tex]\(A\(B^{-1}XA\)^{-1}\)^{-1}=(A^T)^{-1}[/tex]

[tex]A^{-1}\(B^{-1}XA\)=(A^{-1}\)^{T}[/tex]

[tex]\(B^{-1}XA\)A^{-1}=(A^{-1}\)^{T}[/tex]

[tex]B^{-1}XAA^{-1}=(A^{-1}\)^{T}[/tex]

[tex]B^{-1}X=(A^{-1}\)^{T}[/tex]

[tex]BB^{-1}X=B(A^{-1}\)^{T}[/tex]

[tex]X=B(A^{-1}\)^{T}[/tex]

eller

[tex]A(B^{-1}XA)^{-1}=A^T[/tex]

[tex](B^{-1}XA)^{-1}A=A^T[/tex]

[tex]BX^{-1}A^{-1}A=A^T[/tex]

[tex]BX^{-1}=A^T[/tex]

[tex]B^{-1}X=\(A^T\)^{-1}[/tex]

[tex]BB^{-1}X=B\(A^{-1}\)^T[/tex]

[tex]X=B\(A^{-1}\)^T[/tex]


Fulgt regler for transponering og inverterbare matriser, men A^{-1}A = I og blir ikke borte så skeptisk dermed til begge to løsningene... Svarene er riktige mhp X...

Prøver å unngå å dele på matriser siden det er ikke er lov?

[mrcreosote]

Her tar du deg flere friheter. Matriser har en tendens til ikke å kommutere. Inversen til AB er heller ikke A^{-1}B^{-1}.

[Gustav]

Prøver å unngå å dele på matriser siden det er ikke er lov?

Helt generelt er "deling" egentlig multiplikasjon med multiplikative inverser. På samme måte er subtraksjon egentlig addisjon av additive inverser.

Basert på denne betraktningen er "deling" helt lovlig også for matriser, men da må du være sikker på at den inverse fins, noe den gjør hviss determinanten er ulik 0.

[meCarnival]

Her tar du deg flere friheter. Matriser har en tendens til ikke å kommutere. Inversen til AB er heller ikke A^{-1}B^{-1}.

og [tex]AA^{-1} = I[/tex] vel? der [tex]I[/tex] = enhetsmatrise...


Prøvd og løse denne på mange måter og broder'n skjønte heller ikke helt hvordan man skulle komme frem til svaret... B^{-1} er jeg litt usikker på når jeg skal starte i hele tatt med oppgaven...

Svaret jeg skal frem til:
X = B(A^{-1})^T


Sitter med de åtte regnereglene for inverterbare matriser og transponerbare matriser... hmm.. gjerne litt dytt i starten her...


Determinater er i kap 5 og dette er i kap 2 hvertfall. Mulig det kommer noe senere om delingen, men forløpig og forslagene i boka gjør ikke noe sånt så tenkte dermed at de så bort fra det... Står aldri del med matriser, men er vel noe bak det også...

[mrcreosote]

Den første feilen i det første forslaget er når du går fra linje 2 til linje 3; [tex](PQ)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}\neq P^{-1}Q^{-1}[/tex].

Den første feilen i det andre forslaget er når du går fra linje 1 til linje 2; [tex]PQ\neq QP[/tex].

[meCarnival]

men blir det riktig om jeg hopper over ledd tre i forslag 1?

[tex]\(A\(B^{-1}XA\)^{-1}\)^{-1}=(A^T)^{-1}[/tex]

[tex]\(B^{-1}XA\)A^{-1}=(A^{-1}\)^{T}[/tex]

Fordi rekkefølgen byttes om, men den består inn i parentesen eller byttes den om også?

[Gustav]

men blir det riktig om jeg hopper over ledd tre i forslag 1?

[tex]\(A\(B^{-1}XA\)^{-1}\)^{-1}=(A^T)^{-1}[/tex]

[tex]\(B^{-1}XA\)A^{-1}=(A^{-1}\)^{T}[/tex]

Fordi rekkefølgen byttes om, men den består inn i parentesen eller byttes den om også?

[tex]A(B^{-1}XA)^{-1}=A^T[/tex]

[tex](B^{-1}XA)^{-1}=A^{-1}A^T[/tex]

[tex](B^{-1}XA)=(A^{-1}A^T)^{-1}=(A^T)^{-1}A[/tex]

Verre er det vel ikke:)


[tex]XA=B(A^T)^{-1}A[/tex]

[tex]X=B(A^T)^{-1}[/tex]

[meCarnival]

Nei, det er vel ikke så vanskelig men synes det er litt vrient å bare starte på slike oppgaver når jeg ikke finner noe på nett og et mye enklere eksempel i boka og et par nye regler...

Men er det slik du har gått frem:

[tex]A(B^{-1}XA)^{-1}=A^T[/tex]

[tex]\frac{(B^{-1}XA)^{-1}}{A}=\frac{A^T}{A}[/tex]

[tex](B^{-1}XA)^{-1}=A^TA^{-1}[/tex]

[tex]\((B^{-1}XA)^{-1}\)^{-1}=\(A^TA^{-1}\)^{-1}[/tex]

[tex]B^{-1}XA=(A^{-1}A^T)^{-1}=(A^T)^{-1}A[/tex]

[tex]\frac{B^{-1}XA}{B^{-1}}=\frac{(A^T)^{-1}A}{B^{-1}}[/tex]

[tex]\frac{XA}{A}=\frac{B(A^T)^{-1}A}{A}[/tex]

[tex]X=B(A^T)^{-1}[/tex]

[tex]X=B(A^{-1})^T[/tex]

[Gustav]

[tex]A(B^{-1}XA)^{-1}=A^T[/tex]

Ganger med A invers fra venstre på begge sider:

[tex](B^{-1}XA)^{-1}=A^{-1}A^T[/tex]

Tar inversen av begge sider:

[tex]B^{-1}XA=(A^{-1}A^T)^{-1}=(A^T)^{-1}A[/tex]

Ganger med B fra venstre på begge sider:

[tex]XA=B(A^T)^{-1}A[/tex]

Ganger med inversen av A fra høyre på begge sider:

[tex]X=B(A^T)^{-1}[/tex]

Et par tips til slutt:

Når du har å gjøre med matriser må du glemme "deling" i klassisk forstand. Det er ikke vanlig å skrive brøker av matriser.

Istedenfor å dele på f.eks. matrisen A skal du gange med [tex]A^{-1}[/tex]. Det er også i høyeste grad viktig å passe på fra hvilken side man ganger. Grunnen er at matriseproduktet ikke nødvendigvis er kommutativt ([tex]AB\neq BA[/tex] i noen tilfeller):

Eksempel: Hvis du har ligningen

[tex]AX=B[/tex] kan du IKKE gjøre følgende:

[tex]A^{-1}AX=X=BA^{-1}[/tex] som er FORBUDT!!

Det riktige vil være å gjøre dette:

[tex]A^{-1}AX=X=A^{-1}B[/tex].

Ser du forskjellen? Her tilslutt har jeg ganget begge sidene med [tex]A^{-1}[/tex] fra venstre slik at [tex]A^{-1}A=I[/tex] forsvinner.

I tilfellet som er forbudt har jeg ganget med inversen av A fra venstre på den ene siden og fra høyre på den andre. Det er altså ikke lov siden du må gange fra samme side på begge sider.

[meCarnival]

Ja, det er har jeg skjønt at er viktig å holde riktig på...

Har fire oppgaver til som jeg skla prøve på som jeg poster ut og ser om jeg har skjønt dette...

Bare lurte på om det var det med deling du hadde gjort, og bror gjorde noe sånt så derfor jeg ble usikker om det var lov... Lest at man aldri skulle dele med matriser + at du skrev noe jeg dermed ikke helt skjønte over...

Barnedåp i hele dag så blir vel å gjøre noe i kveld...

[mrcreosote]

Det virker som du tenker veldig mye på regler og hva som er lov og ikke lov. Prøv heller å tenke på hvorfor ting er som de er. Delinga som eksempel: Hvorfor kan man ikke dele noe på ei matrise? Hvordan ville denne operasjonen være definert?

Kommutativitet: Dette er ikke en regel som er der for å skape bry, men rett og slett en konsekvens av hvordan matrisemultiplikasjon er definert. Regn ut AB og BA når A=(0 0|1 0) og B=(0 1|0 0).

[meCarnival]

Jupp... Skal teste ut noen tilleggsoppgaver nå og se om det funker...

Ja, tenker mye på ting, men lærer av det og spørr om det har noen hensikt eller om det er viktig eller om ting er lov eller ikke. Derfra bare husker jeg på hva som er relevant for beregninger osv ...

[meCarnival]

Synes jeg begynte å få litt dreisen på dette og viste seg å være enkelt, men
noen steder stusser jeg på om jeg har noen svakere øyeblikk...

Setter pris på om noen ser over og kanskje finner feil.. Litt usikker på om jeg bare kan gjøre om [tex]I[/tex] sånn som jeg gjør...
Ellers var dette veldig enkelt iforhold til den andre oppgaven synes nå jeg ...

Alle sluttsvar på oppgavene er riktige svar iforhold til fasit...


1.
[tex]B^{-1}XA=A^2[/tex]

[tex]BB^{-1}XA=BA^2[/tex]

[tex]XA=BA^2[/tex]

[tex]XAA^{-1}=BA^2A^{-1}[/tex]

[tex]X=BA[/tex]


2.
[tex]B^T\(AX\)^{-1}=I[/tex]

[tex]B^TX^{-1}A^{-1}=I[/tex]

[tex]B^TX^{-1}A^{-1}A=IA[/tex]

[tex]B^TX^{-1}=AA^{-1}A[/tex]

[tex]\(B^T\)^{-1}B^TX^{-1}=\(B^T\)^{-1}A[/tex]

[tex]X^{-1}=\(B^T\)^{-1}A[/tex]

[tex]\(X^{-1}\)^{-1}=\(\(B^T\)^{-1}A\)^{-1}[/tex]

[tex]X=A^{-1}B^T[/tex]


3.
[tex]2XA+A\(A^{-1}B^T\)^{-1}=0[/tex]

[tex]XA=-\frac{1}{2}A\(A^{-1}B^T\)^{-1}[/tex]

[tex]XA=-\frac{1}{2}A\(B^T\)^{-1}A[/tex]

[tex]XAA^{-1}=-\frac{1}{2}A\(B^T\)^{-1}AA^{-1}[/tex]

[tex]X=-\frac{1}{2}A\(B^T\)^{-1}[/tex]


4.
[tex]\(XA^{-1}\)^TB=B-2I[/tex]

[tex]\(XA^{-1}\)^TBB^{-1}=BB^{-1}-2B^{-1}BB^{-1}[/tex]

[tex]\(XA^{-1}\)^T=1-2B^{-1}[/tex]

Herfra ble jeg litt usikker, men prøvde meg på en slik løsning:

[tex]\(A^{-1}\)^TX^T=1-2B^{-1}[/tex]

[tex]A^T\(A^{-1}\)^TX^T=A^T1-A^T2B^{-1}[/tex]

[tex]X^T=A^T-A^T2B^{-1}[/tex]

[tex]\(X^T\)^T=\(A^T-A^T2B^{-1}\)^T[/tex]

[tex]X=A-2\(B^{-1}\)^TA[/tex]

[mrcreosote]

Ser ikke ut som det er noen feil her unntatt at du i siste oppgava skriver 1 når du mener I. Ingen stor sak.

Du går imidlertid en omvei noen ganger når du gjør om I til [tex]MM^{-1}[/tex]. Det er forsåvidt riktig, men unødvendig da matriser som er hverandres inverse kommuterer: [tex]MM^{-1} = M^{-1}M=I[/tex].

Her er ei oppgave hvor du kan få bruk for at inverse kommuterer med hverandre: La A og B være kvadratiske matriser så AB+A+B=0. Vis at AB=BA. Prøv på den, så skal du heller få et eventuelt hint seinere.

[meCarnival]

Ja, skal prøve meg på den når jeg får tid ..

Men kan jeg bare ta bort I egentlig når jeg ganger med noe med I? Siden det jeg ganger med er jo uansett det som står igjen?
Det var bevist skrevet 1 og ikke I, fordi jeg ville ha det bort, men så i fasiten at det skulle stå en A der til slutt så tenkte da at det ble 1, men skjønner nå at jeg skal gjøre om det til I... =)...