Hei lurte på om noen kunne være så snill å hjelpe meg litt med denne oppgaven:
En skåk med flat bunn kan framkomme ved å dreie funksjonen g 360 grader om førsteaksen. funksjonen er gitt ved g(x)= [symbol:rot] x+a
x går fra 0til1
a) Hvor mye rommer skåla når a=1?
b) Bestem a slik at volumet til skåla er 4.
integrasjon, omdreiningslegeme
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Bruker feil funksjon i dette innlegget. Rettet i innlegget lenger nede!
Jeg er snill!
Volumet til omdreningslegemet om x-aksen er, i følge Lindstrøms Kalkulus,
[tex]V = \pi\int_a^bg(x)^2dx[/tex]
a)
Setter inn din funksjon for g(x).
[tex]V = \pi\int_0^1(\sqrt{x + 1})^2dx \;=\; \pi\int_0^1x+1\;dx[/tex]
Det her var ganske rett frem? Tar du resten?
b)
Dette her er ikke så mye vanskeligere. Bare løs ligningen med hensyn på a.
[tex]4 = \pi\int_0^1x+a\;dx[/tex]
Jeg er snill!
Volumet til omdreningslegemet om x-aksen er, i følge Lindstrøms Kalkulus,
[tex]V = \pi\int_a^bg(x)^2dx[/tex]
a)
Setter inn din funksjon for g(x).
[tex]V = \pi\int_0^1(\sqrt{x + 1})^2dx \;=\; \pi\int_0^1x+1\;dx[/tex]
Det her var ganske rett frem? Tar du resten?
b)
Dette her er ikke så mye vanskeligere. Bare løs ligningen med hensyn på a.
[tex]4 = \pi\int_0^1x+a\;dx[/tex]
Last edited by Markonan on 16/03-2009 16:40, edited 2 times in total.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Du trenger ikke den, siden man opphøyer funksjonen i annen før man integrerer. Da blir du kvitt rottegnet i funksjonen, og alt blir en del enklere.
Forresten, er funksjonen
[tex]g(x) = \sqrt{x + a}[/tex]
eller
[tex]g(x) = \sqrt{x} + a[/tex]?
Vrient å se med symbol-rottegnet. Jeg bare antok den første.
Forresten, er funksjonen
[tex]g(x) = \sqrt{x + a}[/tex]
eller
[tex]g(x) = \sqrt{x} + a[/tex]?
Vrient å se med symbol-rottegnet. Jeg bare antok den første.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Aaah. Da blir det litt annerledes. Du trenger da integralet til
[tex]2\sqrt{x}[/tex] og [tex]2a\sqrt{x}[/tex], som blir nesten det samme som bare integralet til [symbol:rot] x.
Volumet til omdreningslegemet om x-aksen er, i følge Lindstrøms Kalkulus,
[tex]V = \pi\int_a^bg(x)^2dx[/tex]
a)
Setter inn din funksjon for g(x).
[tex]V = \pi\int_0^1(\sqrt{x} + 1)^2dx[/tex]
b)
Løs ligningen med hensyn på a.
[tex]4 = \pi\int_0^1(\sqrt{x}+a)^2\;dx[/tex]
Du må bare gange ut parentesene før du integrerer i a og b.
[tex]2\sqrt{x}[/tex] og [tex]2a\sqrt{x}[/tex], som blir nesten det samme som bare integralet til [symbol:rot] x.
Volumet til omdreningslegemet om x-aksen er, i følge Lindstrøms Kalkulus,
[tex]V = \pi\int_a^bg(x)^2dx[/tex]
a)
Setter inn din funksjon for g(x).
[tex]V = \pi\int_0^1(\sqrt{x} + 1)^2dx[/tex]
b)
Løs ligningen med hensyn på a.
[tex]4 = \pi\int_0^1(\sqrt{x}+a)^2\;dx[/tex]
Du må bare gange ut parentesene før du integrerer i a og b.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Satser på at HildeKS har regnet oppgavene selv, så jeg trygt kan legge ut min løsning. 
Jeg regnet meg gjennom oppgave b), og det ble litt av et algebra-sirkus! Lurer på hvordan det kan gjøres enklere. Kan umulig være hensikten å løse det på denne måten?
[tex]4 = \pi\int_0^1 (\sqrt{x} + a)^2\;dx[/tex]
[tex]4 = \pi\int_0^1 x + 2a\sqrt{x} + a^2\;dx[/tex]
[tex]4 = \pi\Big[\frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}ax^{\frac{3}{2}} + a^2x\Big]_0^1[/tex]
[tex]\frac{4}{\pi} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3}a + a^2[/tex]
[tex]a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi} = 0[/tex]
[tex]a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{\pi - 8}{2\pi} = 0[/tex]
Løser med ABC-formelen.
[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm\sqrt{\frac{16}{9} - 4\frac{\pi - 8}{2\pi}}}{2}[/tex]
[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm\sqrt{\frac{16}{9} - \frac{2\pi - 16}{\pi}}}{2} \;\approx[/tex]
Herfra kjører jeg approksimasjoner, siden det blir litt uhåndterlig.
[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm2.2070}{2} \Rightarrow \bigg{\begin{array}{l}a_1 \approx 0.4369\\a_2\approx -1.7702\end{array}[/tex]
For at vi skal kunne beregne volumet til omdreiningslegemet, må funksjonen være positiv i intervallet [0,1]. Det er kun oppfylt når a = a_1.
Setter du inn min approksimasjon av a_1 i det opprinnelige integralet, får du 3.999 som svar. Close enough!
Jeg regnet meg gjennom oppgave b), og det ble litt av et algebra-sirkus! Lurer på hvordan det kan gjøres enklere. Kan umulig være hensikten å løse det på denne måten?
[tex]4 = \pi\int_0^1 (\sqrt{x} + a)^2\;dx[/tex]
[tex]4 = \pi\int_0^1 x + 2a\sqrt{x} + a^2\;dx[/tex]
[tex]4 = \pi\Big[\frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}ax^{\frac{3}{2}} + a^2x\Big]_0^1[/tex]
[tex]\frac{4}{\pi} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3}a + a^2[/tex]
[tex]a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi} = 0[/tex]
[tex]a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{\pi - 8}{2\pi} = 0[/tex]
Løser med ABC-formelen.
[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm\sqrt{\frac{16}{9} - 4\frac{\pi - 8}{2\pi}}}{2}[/tex]
[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm\sqrt{\frac{16}{9} - \frac{2\pi - 16}{\pi}}}{2} \;\approx[/tex]
Herfra kjører jeg approksimasjoner, siden det blir litt uhåndterlig.
[tex]\frac{-\frac{4}{3}\pm2.2070}{2} \Rightarrow \bigg{\begin{array}{l}a_1 \approx 0.4369\\a_2\approx -1.7702\end{array}[/tex]
For at vi skal kunne beregne volumet til omdreiningslegemet, må funksjonen være positiv i intervallet [0,1]. Det er kun oppfylt når a = a_1.
Setter du inn min approksimasjon av a_1 i det opprinnelige integralet, får du 3.999 som svar. Close enough!
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu