Julenøttstafett

[Markonan]

Jobber litt med venstresiden først.
$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4$

$(a+b)(\frac{(a+b)}{ab})\ge 4$

$\frac{(a+b{)}^2}{ab}\ge 4$

$a^2+2ab+b^2\ge 4ab$

$a^2+b^2\ge 2ab$

Men, her stopper det opp. Jeg har vel kommet et stykke på vei?

Edit Eureka!
$a^2-2ab+b^2\ge 0$

$(a-b{)}^2\ge 0$

Som opplagt er riktig!

Har ingen nøtter, så noen andre for trå til.

[ingentingg]

Du er faktisk i mål:
(a-b)^2 >= 0

Edit: Du hadde visst endret den selv

[ingentingg]

Nøtt 30
4 mus starter i hvert sitt hjørnet av et kvadrat med sidekant 1.
Alle 4 begynner å gå samtidig i samme hastighet mot musen som er i nærmeste hjørnet i positiv omløpsretning.

Hvor langt har en mus gått når de treffes i midten av kvadratet?.

Fullstendig matematisk utledning kreves ikke. Holder med et bra resonnement ala bien og togene.

Edit: Presisering: Hver mus går mot den "neste" musen i kvadratet. Alle musene går ikke mot samme mus.

[Magnus]

mrcreosote, et litt trent øye ser vel at dette er en riemann-sum også.

[daofeishi]

Nøtt 30
4 mus starter i hvert sitt hjørnet av et kvadrat med sidekant 1.
Alle 4 begynner å gå samtidig i samme hastighet mot musen som er i nærmeste hjørnet i positiv omløpsretning.

Hvor langt har en mus gått når de treffes i midten av kvadratet?.

Fullstendig matematisk utledning kreves ikke. Holder med et bra resonnement ala bien og togene.

Edit: Presisering: Hver mus går mot den "neste" musen i kvadratet. Alle musene går ikke mot samme mus.

Grunnet symmetrien til systemet, vil musene alltid befinne seg i kvadratformasjon.

Definer et koordinatsystem slik: Velg en mus og kall den Bob. La origo være i senter av kvadratet, og la Bob befinne seg på positiv x-akse. (M.a.o. koordinatsystemet roterer med musene) Bob starter da ved $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ Musene vil møte hverandre når Bob har nådd punktet (0, 0). Anta at musene har lineær hastighet v. Hastigheten til Bob inn mot (0, 0) er da $\frac{v}{\sqrt{2}}$, og total tid Bob beveger seg er $\frac{1}{v}$ Dette betyr at hver av musene beveger seg nøyaktig 1 enhet totalt.

Løsning 2: Musene beveger seg lineært mot hverandre. Grunnet symmetrien, betyr det at de beveger seg en lengde lik sidelengden i kvadratet.

[daofeishi]

Nøtt 31

Bestem alle polynomer slik at $(P^{\prime }(x){)}^2=cP(x)P^{\prime \prime }(x)$ for en konstant c

Tør vi satse på å løse flere før nyttår? Hvor mange kan vi klare tror dere?

[Charlatan]

La $P(x)$ ha grad $n$, og la det første leddet i $P(x)$ være $a_n$. Hvis vi kalkulerer tilsvarende ledd på hver side, må $(a_n\cdot n{)}^2=c\cdot a_n^{2}n(n-1)\Rightarrow n=c(n-1)\Rightarrow n=\frac{c}{c-1}$ Siden $n$ er et ikke-negativt heltall, må $c-1|c$, men $gcd(c-1,c)=gcd(1,c)=1\Rightarrow c-1=1\Rightarrow c=2$ , og dermed $n=2$.

La $P(x)=a{x}^2+bx+d$.
Da er $(P^{\prime }(x){)}^2=4a^2{x}^2+4abx+b^2$

Og $\text{Double exponent: use braces to clarify}$
Ved å kalkulere koeffisienter så er $4ad=b^2\Rightarrow b^2-4ad=0$

Det betyr at $P(x)$ beskriver en kurve som har en dobbelrot, og kan dermed skrives på formen $r(x-t{)}^2$, hvor r og t er konstanter og r [symbol:ikke_lik] 0

Da er svaret at $P(x)=r(x-t{)}^2,r,t\in \mathbb{R},r\ne 0$

Håper det ble riktig.

PS: Hvordan skriver man dobbeltderivert i tex?

EDIT: Fjernet nøtten

[daofeishi]

Løsningsforslaget over er dessverre ikke helt fullstendig, Jarle, siden c ikke nødvendligvis er et heltall.

[Charlatan]

Auda

[Markonan]

PS: Hvordan skriver man dobbeltderivert i tex?

$dobbelderivert$

$f^{,,}$ f.eks

$f^{\prime \prime }$

[Charlatan]

PS: Hvordan skriver man dobbeltderivert i tex?

$dobbelderivert$

$f^{,,}$ f.eks

$f^{\prime \prime }$

Takk

[ingentingg]

Et tips kan være å skrive om likningen til:

$\text{(}\frac{p^{\prime }(x)}{p(x)}{\text{)}}^2=c\frac{p^{\prime \prime }(x)}{p(x)}$

Ignorerer x for å få lettere notasjon.
La $u=\frac{p^{\prime }}{p}$

Da vil: $u^{\prime }=\frac{p^{\prime \prime }p-\text{(}{p}^{\prime }{\text{)}}^2}{p^2}=\frac{p^{\prime \prime }}{p}-\text{(}\frac{p^{\prime }}{p}{\text{)}}^2$

Som gir at:
$u^{\prime }=\frac{1-c}{c}{u}^2$

[ingentingg]

Kan jo ta resten og, nå som eg har startet.

Anta at graden til p er n.

Da har jo Jarle vist at: $c=\frac{n}{n-1}$

Løser den separable diff.likningen:
$$\begin{gathered} \frac{du}{dx}=-\frac{1}{n}{u}^2 \\ \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{n}dx \\ u=\frac{1}{\frac{1}{n}x+K_1} \end{gathered}$$

Setter inn i likningen for u og får:

$$\begin{gathered} \frac{dp}{dx}=\frac{p}{\frac{1}{n}x+K_1} \\ \ln p=n\ln (\frac{1}{n}x+K_1)+K_2 \\ p(x)=K_3(\frac{1}{n}x+K_1{)}^n \end{gathered}$$

Viss man setter utenfor de rette konstantene får man:
$p(x)=A(x+B{)}^n$, hvor A og B er konstanter

Edit: Siden løsningen er funnet vha differensiallikninger, er løsningen entydig som følger av entydighetsteorem for differensiallikninger. (Velg konstantene med omhu slik at de rette elementene er ulike 0)

Har ingen god nøtt, så det blir førstemann til mølla

[Magnus]

La $a,b\in \mathbb{Z}$. Vis at hvis $11|a^2+b^2+9ab$ så vil $11|a^2-b^2$

[Charlatan]

La $a,b\in \mathbb{Z}$. Vis at hvis $11|a^2+b^2+9ab$ så vil $11|a^2-b^2$

$11|a^2+b^2+9ab\Rightarrow a^2+b^2+9ab\equiv 0(\text{mod11})\Rightarrow (a-b{)}^2\equiv 0(\text{mod11})\Rightarrow a\equiv b(\text{mod11})\Rightarrow a^2\equiv b^2(\text{mod11})$

Merk, hvis $t^2$ er delelig på et primtall, er $t$ også det.
Anta at 11 ikke deler $t$, da må t ha en rest mellom 1 og 10. da vil $t^2$ ha en rest som ikke kan være et multippel av 11, siden det er prim.

Ny nøtt fra abelfinale:

Vis at ethvert oddetall kan skrives som differansen mellom to kvadrattall.

Avgjør deretter om det finnes en uendelig følge $a_1,a_2,a_3,...$ av positive heltall slik at for alle $1\le n$ er summen $a_1^2+a_2^2+a_3^2...$ et kvadrattall.