Prøvde meg på [tex]I = \int \frac{1}{\cos x} {\rm d}x[/tex] nå.
Gjorde sånn:
[tex]I = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} {\rm d}x[/tex] (multipliserte med cos)
[tex]I = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} {\rm d}x[/tex] (sammenheng mellom sin og cos)
[tex]u = \sin x[/tex], [tex]u^\prime = \cos x[/tex]
[tex]I = \int \frac{1}{1 - u^2} {\rm d}u[/tex]
[tex]I = \int \frac{1}{(1 + u)(1 - u)} {\rm d}u[/tex] (konjugatsetn.)
Der sa det bom stopp gitt! Hvem kan vise meg delbrøkoppspalting? (Dumme 3MX-læreplan som ikke tar med det!)
Hmm, da blir Per-databasen redningen for meg tror jeg.
[tex]\frac{A}{1+u} + \frac{B}{1-u} = \frac{1}{(1+u)(1-u)}[/tex]
[tex](1-u)A + (1+u)B = A+B[/tex]
[tex]A - Au + B + Bu = A+B[/tex]
[tex]A + B + (B-A)u = A+B[/tex]
[tex](B-A)u = 0[/tex]
[tex]B = A[/tex]
I tillegg vet vi [tex]A + B = 1[/tex]
Det betyr [tex]A = B = \frac{1}{2}[/tex]
Min første delbrøkoppspalting ble en suksess
[tex]I = \int \frac{\frac{1}{2}}{1+u} {\rm d}u + \int \frac{\frac{1}{2}}{1-u} {\rm d}u[/tex]
[tex]2I = \int \frac{1}{1+u} {\rm d}u + \int \frac{1}{1-u} {\rm d}u[/tex]
[tex]2I = \ln (u+1) - \ln (1 - u) + C[/tex]
[tex]I = \frac{1}{2}(\ln (\sin x + 1) - \ln (1 - \sin x)) + C[/tex]
JIPPI
