Trigonometri-integrasjon

[Sluggern]

MEN:

Når jeg videre regner ut arealet bli svaret mitt feil!

Jeg skal regne ut arealet mellom grafen og x-aksen fra 0 til ([symbol:pi] /2) (1. positive nullpunkt).
Svaret jeg til slutt kommer fram til har formen (1/5)*(-2e(- [symbol:pi] /2)cos [symbol:pi] +2e(-0)cos0) = 0,3168
(Har med vilje fjernet sinusene fordi sin [symbol:pi] og sin0 = 0)

I fasiten, derimot, er svaret (2/5)*(1+e(- [symbol:pi] /2)) [symbol:tilnaermet] 0,483
Hvordan kan dette ha seg?

[daofeishi]

Nå som komplekse tall har kommet inn i pensumet i vgs kan vi jo også vise en annen måte å gjøre første oppgave på:

[tex] \int e^{-x} \sin (2x) \ {\rm d}x \qquad = \qquad \Im \left( \int e^{-x} e^{2ix} \ {\rm d}x \right) \qquad = \qquad \Im \left( \int e^{(2i-1)x} \ {\rm d}x \right) \qquad \\ = \qquad \Im \left( \frac{e^{(2i-1)x}}{2i-1} + C_0 \right) \qquad = \qquad \Im \left( -\frac{e^{-x}}{5}(2i+1)e^{2ix} + C_0 \right) \qquad = \qquad \Im \left( -\frac{e^{-x}}{5}(2i+1)(\cos (2x) + i \sin (2x)) + C_0 \right) \\ = - \frac{2\cos(2x) + \sin(2x)}{5e^x} + C[/tex]

Dermed:

[tex]\int _0 ^{\frac{\pi}{2}}e^{-x} \sin (2x) \ {\rm d}x \qquad = \qquad \left[ - \frac{2\cos(2x) + \sin(2x)}{5e^x} \right] _0 ^{\frac{\pi}{2}} \qquad = \qquad \left( - \frac{2\cos(\pi) + \sin(\pi)}{5e^{\frac{\pi}{2}}} \right) - \left( -\frac{2\cos(0) + \sin(0)}{5e^0} \right) \\ = \qquad \left(- \frac{(-2)}{5e^{\frac{\pi}{2}}} \right) - \left( - \frac{2}{5} \right) \qquad = \qquad \frac{2}{5}\left( 1 + e^{-\frac{\pi}{2}} \right)[/tex]


Konvensjonen er, etter det jeg har hørt, at variabler skrives i kursiv, mens operatorer ikke. Stemmer nok, som Magnus sier, at dersom man skal følge "matematiske rettskrivningsregler" heter det [tex]{\rm d} x[/tex].

[Sluggern]

Nå som komplekse tall har kommet inn i pensumet i vgs kan vi jo også vise en annen måte å gjøre første oppgave på:

[tex] \int e^{-x} \sin (2x) \ {\rm d}x \qquad = \qquad \Im \left( \int e^{-x} e^{2ix} \ {\rm d}x \right) \qquad = \qquad \Im \left( \int e^{(2i-1)x} \ {\rm d}x \right) \qquad \\ = \qquad \Im \left( \frac{e^{(2i-1)x}}{2i-1} + C_0 \right) \qquad = \qquad \Im \left( -\frac{e^{-x}}{5}(2i+1)e^{2ix} + C_0 \right) \qquad = \qquad \Im \left( -\frac{e^{-x}}{5}(2i+1)(\cos (2x) + i \sin (2x)) + C_0 \right) \\ = - \frac{2\cos(2x) + \sin(2x)}{5e^x} + C[/tex]

Dermed:

[tex]\int _0 ^{\frac{\pi}{2}}e^{-x} \sin (2x) \ {\rm d}x \qquad = \qquad \left[ - \frac{2\cos(2x) + \sin(2x)}{5e^x} \right] _0 ^{\frac{\pi}{2}} \qquad = \qquad \left( - \frac{2\cos(\pi) + \sin(\pi)}{5e^{\frac{\pi}{2}}} \right) - \left( -\frac{2\cos(0) + \sin(0)}{5e^0} \right) \\ = \qquad \left(- \frac{(-2)}{5e^{\frac{\pi}{2}}} \right) - \left( - \frac{2}{5} \right) \qquad = \qquad \frac{2}{5}\left( 1 + e^{-\frac{\pi}{2}} \right)[/tex]


Konvensjonen er, etter det jeg har hørt, at variabler skrives i kursiv, mens operatorer ikke. Stemmer nok, som Magnus sier, at dersom man skal følge "matematiske rettskrivningsregler" heter det [tex]{\rm d} x[/tex].

Jeg har ikke lært om komplekse tall på skolen, men skal se om jeg finner ut av det! Takk for hjelp!