Funksjondrøfting og fart

[MatteNoob]

[tex]v(t) = \sqrt {(3\pi - 3\pi cos(12\pi t))^2 + (3\pi sin(12\pi t))^2}[/tex]

Jeg er usikker, men slik ville jeg gjort det;

[tex]u = 3\pi -3\pi\cos(12\pi t) \\ \, \\ v = 3\pi\sin(12\pi t) \\ \, \\ w = u^2+v^2[/tex]

[tex]\sqrt w \prime \cdot \left(u^2\prime \cdot u\prime + v^2\prime \cdot v\prime \right) = \frac{2u\cdot u\prime + 2v\cdot v\prime}{2\sqrt{w}} = \frac{u\cdot u\prime + v\cdot v\prime}{\sqrt{w}}[/tex]

[Badeball]

Ved å gange ut og bruke at sin^2 x + cos^2 x = 1, så får du at farten blir:

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{2}\sqrt{1 - \cos(12\pi t)}[/tex]

Jeg vet ikke hvilket nivå du er på, men hvis du har hatt 2MX eller tilsvarende, så SKAL du klare å derivere dette og finne maks/min-punkter. Hvis ikke, så må du lære deg det før du går videre.

Uansett, man må bruke kjerneregelen. Den deriverte blir:

[tex]\frac{d}{dt}v(t) = 18\pi^2 \sqrt2 \frac{sin(12\pi t)}{\sqrt{1 - cos(12\pi t)}}[/tex]

Vi ser altså at den er null når teller er null, dvs når argumentet 12PI*t er lik et helt multiplum av PI, altså når t = k/12 for alle heltall k. Legg merke til at når k er partall, så får vi at t er et multiplum av 1/6, som vi har vist at er tidene når P er borti bakken. Vi har vist at farten da er null, dette er bunnpunktene til fartsfunksjonen. De resterende løsningene er toppunktene, som altså er når P er øverst i banen. Setter du inn finner du at farten er lik 6PI i toppunktene.

[zell]

Seriøst, slutt å skriv 100 meldinger til meg i PM scofield. Vent på svar her!

[tex]v(t) = \sqrt{(3\pi - 3\pi\cos{(12\pi t)})^2 + (3\pi\sin{(12\pi t)})^2}[/tex]

[tex]v(t) = \sqrt{9\pi^2(1-\cos{(12\pi t)})^2 + 9\pi^2\sin^2{(12\pi t)}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{(1-\cos{(12\pi t)})^2+\sin^2{(12\pi t)}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{1-2\cos{(12\pi t)} + \cos^2{(12\pi t)} + \sin^2{(12\pi t)}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{1-2\cos{(12\pi t)} + 1} = 3\pi\sqrt{2(1-\cos{(12\pi t))}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{2}\sqrt{1-\cos{(12\pi t)}}[/tex]

Som vil ha sin maksimale verdi når:

[tex]\cos{(12\pi t)} = -1[/tex]

[MatteNoob]

Jeg vet ikke hvilket nivå du er på, men hvis du har hatt 2MX eller tilsvarende, så SKAL du klare å derivere dette og finne maks/min-punkter. Hvis ikke, så må du lære deg det før du går videre.

Derivasjon av trigonometriske funksjoner er ikke gjennomgått i 2MX, det kommer først i 3MX. Han holder på med dette nå, men jeg forstår at dette kan være trøblete, for boken jeg bruker er veldig frem og tilbake mhp hvor de gjennomgår derivasjon/integrasjon.

[Badeball]

Åja. Hehe. Det er ca 10 år siden jeg hadde 2MX. Ser ut som de har fordummet matematikkfaget på videregående siden den gang. Men dere lærer da kjerneregel osv i 2MX? Og dere lærer vel at (sinx)' = cosx ?

[zell]

Er jo strengt tatt ikke nødvendig på denne oppgaven.

[MatteNoob]

Åja. Hehe. Det er ca 10 år siden jeg hadde 2MX. Ser ut som de har fordummet matematikkfaget på videregående siden den gang. Men dere lærer da kjerneregel osv i 2MX? Og dere lærer vel at (sinx)' = cosx ?

Ja, det har de gjort :]

Man lærer kjerneregel, kvotientregel og produktregel for polynomer i 2MX. I tillegg til det, lærer man blant annet e[sup]x[/sup]' og litt med røtter, men som sagt, trigonometriske funksjoner kommer ikke før i 3MX.

I læreverket jeg bruker, er disse derivasjons- og integrasjonsreglene spredd omkring i de respektive kapitlene, så det er dårlig pedagogisk lagt opp. (Wentworth har heller ikke tavleundervisning, han bruker bare boken og siden her.)

Uansett, læring er jo individuelt, så det er jo ikke like greit bestandig, hehe.

[MatteNoob]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{2}\sqrt{1-\cos{(12\pi t)}}[/tex]

Som vil ha sin maksimale verdi når:

[tex]\cos{(12\pi t)} = -1[/tex]

[tex]\Downarrow \\ \, \\ 3\pi\sqrt 2\sqrt 2 = 6\pi[/tex] ikkesant?

[Badeball]

Oppgaven kan løses uten å derivere ja, uten å finne uttrykket for total fart også, som jeg har forklart tidligere. Poenget mitt var å lære trådstarter at funksjonsdrøfting er en god generell måte å løse slike problemer på.

[Wentworth]

Seriøst, slutt å skriv 100 meldinger til meg i PM scofield. Vent på svar her!

[tex]v(t) = \sqrt{(3\pi - 3\pi\cos{(12\pi t)})^2 + (3\pi\sin{(12\pi t)})^2}[/tex]

[tex]v(t) = \sqrt{9\pi^2(1-\cos{(12\pi t)})^2 + 9\pi^2\sin^2{(12\pi t)}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{(1-\cos{(12\pi t)})^2+\sin^2{(12\pi t)}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{1-2\cos{(12\pi t)} + \cos^2{(12\pi t)} + \sin^2{(12\pi t)}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{1-2\cos{(12\pi t)} + 1} = 3\pi\sqrt{2(1-\cos{(12\pi t))}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{2}\sqrt{1-\cos{(12\pi t)}}[/tex]

Som vil ha sin maksimale verdi når:

[tex]\cos{(12\pi t)} = -1[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{2}\sqrt{1-\cos{(12\pi t)}}[/tex]Hva har

[tex]\cos{(12\pi t)} = -1[/tex]skjedd mellom her?

[MatteNoob]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{2}\sqrt{1-\cos{(12\pi t)}}[/tex]Hva har

[tex]\cos{(12\pi t)} = -1[/tex]skjedd mellom her?

Det har ikke skjedd noe, du vet at [tex]\cos x[/tex] har amplitude lik 1, dette gjelder også for [tex]\cos(12\pi t)[/tex], for du vet jo at amplituden er definert ved A i [tex]A\cdot\cos x[/tex].

Det betyr jo at x er likevektslinjen, og at [tex]\cos x = -1[/tex] når funksjonen gir lavest verdi. Dermed kan du bytte ut cosinus i rotuttrykket.

[tex]3\pi \sqrt 2 \cdot \sqrt{1-(-1)} = 3\pi \sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 3\pi \cdot 2 = 6\pi[/tex]

[Wentworth]

Jeg tenkte på en annen på jeg,men denne måten er jo riktig også....Jeg tenkte nemlig å finne t verdien [tex]\frac{1}{4}[/tex] når [tex]cos(12\pi t)=-1[/tex]. Og satte den i fartsvektoren for å ta lengden av den etterpå. Det stemmer også.

Takk for hjelpen til alle sammen som hjalp!