matematikk.net

Frekvensen må være den samme på begge sider av en grenselinje mellom to stoffer, fordi antall bølgetopper som passerer et fast punkt i et gitt tidsrom må være det samme på begge sider. Ingen bølgetopper oppstår eller forsvinner når grenselinjen passeres.

Tusen takk, nå gikk det opp et lys for meg.

Enda en oppgave... Litt større enn de forrige.

Det virker ingen friksjon.



a) Tegn kreftene som virker på klossene
b) Finn akselerasjonen til klossene
c) Hvor høyt kommer klosse B
d) Finn et uttrykk for farten til klosse a etter tiden t.
e) Bestem farten og kreftene som virker på klossene når C treffer bakken.

Noen som kan hjelpe, har problemer når oppgavene er mer kompliserte.

Klosse A = 1 m
Klosse B = 2 m
Klosse C = 5 m

Det enkleste er antagelig å sette opp og løse euler-lagrange-ligningene. For øvrig en usedvanlig kronglete oppgave.

Antakeligvis en oppgave langt over mitt nivå, men det er jo artig å prøve seg frem.
Prøvde å tegne kreftene som virker. Har enda ikke dekomponert vektorene, fordi
jeg ikke aner i hvilken retning jeg skal gjøre dette...

http://img72.imageshack.us/img72/8536/newton2pngggb.png

Så spørsmålene ^^

1. Er tegningen ca riktig tegnet?
2. I hvilken retning skal jeg dekomponere kraftvektorene?


-----------------------------------------------------

Prøvde meg også på å finne ut hvor høyt klosse B kommer.
Virker rimelig greit, siden man slipper å tenke på akselerasjon eller tid.

Når klosse C treffer bakken har den beveget seg 4meter. Det betyr at også klosse B har beveget seg 4 meter oppover.
Dette er en rettvinklet trekant, og dermed kan vi bruke enkel trigonometri til å finne ut hvor høyt klossen kommer.

[tex]\sin \left( a \right) = \frac{{opposite}}{{hypotenuse}}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\sin \left( a \right) \cdot hypotenuse = opposite [/tex]

[tex]h = \sin \left( {45} \right) \cdot 4{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{{\sqrt 2 }}{2}4{\rm{ }} = {\rm{ }}\underline{\underline {{\rm{ }}2\sqrt 2 \approx 2,82842meter{\rm{ }}}} [/tex]

Akselerasjonen aner jeg ikke, tittet litt på euler-lagrange-ligninger men ble ikke så mye klokere.
Var litt over mitt hode, og må nok få det litt nøyere forklart om jeg skal forstå det ^^

Åssen tolker du hyssingen mellom klosser A og B? Den endrer vinkel med tiden.

Uansett kan du jo sette opp frigjort potensiell energi som en funksjon av høyden til C og få en differensialligning som gir deg h(t) til C. Deretter kan du bruke denne til å finne v(t) og a(t) til de to andre klossene.

Trikset blir vel at farten til A må uttrykket ved både høyden og farten til B.

Først må vi finne [tex]s_A(h_B)[/tex]. Denne viser seg å være

[tex]s_A(h_B)=5\rm{m}-\sqrt{25\rm{m}^2-\frac{h_B^2}{2}}[/tex]

og siden [tex]h_B=4-\frac{h_C}{\sqrt{2}}[/tex] får vi

[tex]s_A(h_C)=5\rm{m}-\sqrt{25\rm{m}^2-\frac{16\rm{m}^2-4\sqrt{2}\rm{m}h_C-h_C^2}{2}}=5\rm{m}-\sqrt{17\rm{m}^2-2\sqrt{2}\rm{m}h_C-\frac{1}{2}h_C^2}[/tex]

Den tidsderiverte av denne, altså farten til A, blir så

[tex]v_A=\frac{2\sqrt{2}\rm{m}-h_C}{2\sqrt{17\rm{m}^2-2\sqrt{2}\rm{m}h_C-\frac{1}{2}h_C^2}}\frac{\rm{d}h_C}{\rm{d}t}[/tex]

Som du ser vil du få en ulineær diffligning som nok vil blir vanskelig å løse eksakt. Hvis du finner en lignende ligning for [tex]v_B[/tex] vil du kunne bruke bevaring av mekanisk energi til å sette opp ligningen

[tex]\frac{\rm{d}E_{p,C}}{\rm{d}t}=-\frac{\rm{d}}{\rm{d}t}\left(E_{p,B}+E_{k,B}+E_{k,A}\right)[/tex]

som jeg kan garantere blir knotete.

Jeg kan foreslå en mulig løsning:

La[tex] L=T-V[/tex] der [tex]T[/tex] er kinetisk og [tex]V[/tex] potensiell energi til hele systemet.

Føringsbetingelse (cosinussetningen):

[tex]c^2=x^2+y^2-2xy\cos(\frac{\pi}{4})[/tex] der c(sett c=5) er lengden mellom kloss a og b. x og y er koordinatene til kloss a og b langs deres respektive fartsretninger.

Energiene blir

[tex]T=\frac12 m \dot{x}^2+m \dot{y}^2+\frac52m\dot{y}^2[/tex] og

[tex]V=2mgy\sin(\frac{\pi}{4})-5mgy[/tex]

Vi finner et uttrykk for x fra føringsbetingelsen ved å løse 2.gradsligningen for x:

[tex]x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( y-\sqrt{50-y^2}\right )[/tex]

Sett denne løsningen inn i Lagrangefunksjonen og løs diff.ligningen

[tex]\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}-\frac{\partial L}{\partial y}=0[/tex].

Får

[tex]\dot{x}=\frac{\dot{y}}{\sqrt{2}}\left ( 1+y (50-y^2)^{-\frac12}\right )[/tex] så

[tex]L(y,\dot{y})=\frac12 m \left ( \frac{\dot{y}}{\sqrt{2}}\left ( 1+y (50-y^2)^{-\frac12}\right )\right )^2+m \dot{y}^2+\frac52m\dot{y}^2-2mgy\sin(\frac{\pi}{4})+5mgy[/tex]

Setter m=1:

[tex]L(y,\dot{y})=\frac14 \left ( \dot{y}\left ( 1+y (50-y^2)^{-\frac12}\right )\right )^2+\frac72\dot{y}^2+(5-\sqrt{2})gy[/tex]

Her skal [tex]y[/tex] og [tex]\dot{y}[/tex] betraktes som uavhengige variabler. Hvis noen gidder å beregne [tex]\frac{\partial L}{\partial y}[/tex], [tex]\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}[/tex] og den grufulle [tex]\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}[/tex], kan vi sette opp bevegelsesligningen for kloss b og c. Så spørs det om vi klarer å løse diff.ligningen analytisk.... Her er altså [tex]\frac{d}{dt}[/tex] den totalderiverte mhp. tida.

Skriver den om litt:

[tex]L(y,\dot{y})=\frac{\dot{y}^2}{4}\left(1+y(50-y^2)\right)+\dot{y}^2+\frac52\dot{y}^2-(5-\sqrt{2})gy[/tex]

[tex]\frac{dL}{dy}=\frac{\dot{y}^2}{4}\left(50-3y^2\right)-(5-\sqrt{2})g[/tex]

[tex]\frac{dL}{d\dot{y}}=\frac{\dot{y}}{2}\left(1+y(50-y^2)\right)+2\dot{y}+5\dot{y}[/tex]

[tex]\frac{d}{dt}\frac{dL}{d\dot{y}}=\frac{dy}{dt}\frac{d}{dy}\frac{dL}{d\dot{y}}+\frac{d\dot{y}}{dt}\frac{d^2L}{d\dot{y}^2}[/tex]

Vil bare få bekrefta den siste før jeg fortsetter...

Vet ikke om den omskrivingen av L ble helt riktig.

Ja, ser jeg overså et minustegn i eksponenten.

espen180 wrote:Ja, ser jeg overså et minustegn i eksponenten.

Husk kryssledd også. Jeg oppdaget i tillegg en feil i mine utregninger. I cosinussetningen er vinkelen feil, det burde være 135 grader og ikke 45, så fortegnet foran leddet 2xycos(45) skal endres.