Ortogonalitet

[meCarnival]

Ja, det ser riktig ut, men hva betyr y'n i notasjonen [tex]T_y[/tex]?

[Janhaa]

Ja, det ser riktig ut, men hva betyr y'n i notasjonen [tex]T_y[/tex]?

[tex]\Large T_y={\part T\over \part y}[/tex]

[claudius]

Jeg har også etter hvert fått en forståelse av meningen bak oppgaven.
Vi har et stasjonært temperaturfelt [tex]T(\vec r)[/tex], og et objekt(insekt) med posisjon [tex]\vec s(t)[/tex] og hastighet [tex] \vec v(t)[/tex].
Objektet opplever at temperaturen endrer seg. Den øyeblikkelige temperaturendringen sett fra insektet er:
[tex] \frac{dT}{dt} = \vec v \cdot \nabla T [/tex]
[tex]\vec s(t) = \sqrt{1+t}\, {\vec e}_x + (2+\frac{t}{3}){\vec e}_y\\ \vec v (t) = \frac{d\vec s}{dt} = \frac{{\vec e}_x }{2\sqrt{1+x}} +\frac{{\vec e}_y}{3} [/tex]
[tex]{\vec e}_x,\,{\vec e}_y [/tex] er enhetsvektorer i x og y retning.

Etter 3 sekunder er objektet i en posisjon med koordinater (2,3).
Hastigheten er: [tex]\vec v(3) = \frac{1}{4}{\vec e}_x + \frac{1}{3} {\vec e}_y [/tex]

Her er temperaturgradienten i følge oppgaven: [tex]4{\vec e}_x +3{\vec e}_y[/tex]

Når en regner ut skalarproduktet, blir resultatet 2[sup]o[/sup]C/s som tidligere.

[meCarnival]

Her føler jeg ikke er så langt unna, men er like vel ganske langt unna... Jeg ser ikke hvordan T kan være en vektor, altså får benyttet skalarproduktet... Ser dere noen flere feil?

[claudius]

T er ingen vektor, men gradienten av T er en vektor.
Et lynkurs:
[tex]T(\vec r + d\vec r) = T(\vec r ) +dT(\vec r, d\vec r) = T(\vec r )+ \frac{\partial T}{\partial x}dx + \frac{\partial T}{\partial y} dy [/tex]
Som betyr at:
[tex] dT = \frac{\partial T}{\partial x}dx + \frac{\partial T}{\partial y} dy [/tex]
Her er :
[tex] d\vec r = \vec e_x dx + \vec e_y dy [/tex]
Vi definerer differensialoperatoren (nabla): [tex]\nabla = \vec e_x \frac{\partial}{\partial x} + \vec e_y\frac{\partial}{\partial y}[/tex]
Da blir [tex] \nabla T = \vec e_x \frac{\partial T}{\partial x} + \vec e_y\frac{\partial T}{\partial y}[/tex] en vektor og vi ser at vi kan skrive: [tex]dT = d\vec r \cdot \nabla T[/tex]

[tex] \nabla T[/tex] Er gradienten til skalarfeltet T. Det er en vektor og som vi ser gir [tex] d\vec r \cdot \nabla T[/tex] endringen i T ved en (infinitesimal) forflytning [tex] d\vec r[/tex]

Når det gjelder utregningen din er jeg noe usikker på notasjonen men det ser ok ut.

Det er ellers fullt mulig å komme fram her uten å gå veien om gradientbegrepet, men jeg tok det med som et (godt) alternativ!

Gradientbegrepet og nabla operatoren kan selvsagt utvides til tre dimensjoner.