matematikk.net

Flott arbeid, er artige med slike integral.


[tex]\tan(\frac{x}{2}) \cdot \arctan(\tan(\frac{x}{2})) - \frac{1}{2}\ln((\tan(\frac{x}{2}))^2+1)+C[/tex]

Helt riktig som du sier, kan forenkle littegranne til

[tex]\frac{x}{2} \cdot \tan(\frac{x}{2})- \frac{1}{2}\ln((\sec(\frac{x}{2})^2)+C[/tex]

[tex]\frac{x}{2} \cdot \tan(\frac{x}{2}) + \ln(\cos(\frac{x}{2}))+C[/tex]

Som også er det endelige svaret

legg til \ foran ln og trig greier, ser litt bedre ut.

EDIT:

Må seff gange greiene over med 2 for å få svaret da. Men ellers flott jobb og fint problem.

Ah, konge!

Sitter og går over oppgaven en gang til bare så det sitter.

Men ser du har forenkla [tex](\tan^{\tiny 2}(\frac{x}{2})+1)[/tex] på en måte jeg ikke kjenner igjen. Finner ikke forenklinga for tangens-kvadrater i den Wiki-lista over trig-identiterer heller.

Den første overgangen:
[tex]1+ \tan^2(x) = 1+ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2{x}} = \frac{\cos^2(x) + sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)[/tex]

(berre bytt ut x med x/2 så har du det du treng)

Overgang nr. 2:
Hugs regelen [tex]a\ln(x) = \ln(x^a)[/tex] som gir
[tex] -\frac{1}{2}\ln(\sec^2(x)) = \ln\left( ( \sec^2(x))^{-\frac{1}{2}} \right) = \ln((\sec(x))^{-1}) = \ln(\cos(x))[/tex]
sidan [tex] (\sec(x))^{-1} = \left( \frac{1}{\cos(x)}\right)^{-1} = \cos(x)[/tex]

Takker Tosha!

Ok, nå tror jeg at jeg har hele greia i boks. Bare for å mate min egen OCD, så tar jeg hele greia i én post, og håper det er forstått riktig

[tex]\int \frac{x}{1+\cos(x)}dx[/tex]

Innfører den nylig oppdagede Weierstrass-substitusjonen.

[tex]=\int \frac{2\arctan(t)}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}} \ \cdot \ \frac{2}{1+t^2}dt[/tex]

[tex]=\int \frac{4\arctan(t)}{2}dt[/tex]

[tex]=2\int\arctan(t)dt[/tex]

[tex]=2(t \cdot \arctan(t)-\frac{1}{2}\ln(t^2+1)[/tex]

Innfører [tex]t=\tan(\frac{x}{2})[/tex]

Innfører også [tex]u=\frac{x}{2}[/tex] for syns skyld, midlertidig

[tex]=2(\tan(u) \cdot u - \frac{1}{2}\ln(tan^{\tiny 2}(u)+1))[/tex]

[tex]=2(\tan(u) \cdot u - \frac{1}{2}\ln(sec^{\tiny 2}(u))[/tex]

[tex]=2(\tan(u)\cdot u+\ln(cos(u)))[/tex]

[tex]=2u\tan(u) +2\ln(cos(u))[/tex]

[tex]u=\frac{x}{2}[/tex]

[tex]=\underline{\underline{x\tan(\frac{x}{2})+2\ln(cos(\frac{x}{2}))}}[/tex]

(Tar forbehold om eventuelle "tunga-ikke-rett-i-munnen"-feil!)

Glemte helt det integralet jeg spurte om hjelp til i første innlegg

Men jeg prøvde meg på det, med det jeg har lært i tråden her.

Slik ble resultatet. Jamførte svaret med integralmaratontråden, men jeg hoppa ikke over noen steg, stort sett.

Beklager vidda på bildet

Flott arbeid!

Og arbitrær er ikke et spesielt godt norsk ord, da det er direkte oversatt fra arbitrary. Bedre alternativ er å bruke det norske synonymet vilkårlig =)

Og her er en alternativ, nesten identisk løsning.

----------------------------

[tex]I \, = \, \int \frac{x}{1+\cos(x)} dx [/tex]

Vi legger merke til at [tex]\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos(x)+1} \right) \, = \, \tan\left( \frac{x}{2} \right)[/tex] Så dermed

[tex]I \, = \, \int x \, \cdot \, \left( \tan\left( \frac{x}{2} \right) \right)^{\tiny\prime } dx [/tex]

Benytter vi oss av delvis integrasjon

[tex]I \, = \, x \cdot \tan\left( \frac{x}{2} \right) - \int \tan\left( \frac{x}{2} \right)\cdot \left( x \right)^{\tiny\prime} dx [/tex]

For å løse det siste integralet, bruker vi [tex]u=\frac{x}{2}[/tex]

[tex]2 \int \tan(u)dx \, = \, 2 \int \frac{\sin(u)}{\left( sin(u) \right)^{\tiny\prime }} dx \, = \, 2 \ln \left( \cos\left( \frac{x}{2} \right) \right) + C [/tex]

Så

[tex]I = \int \frac{x}{1+\cos(x)} dx \, = \, x \, \cdot \tan\left( \frac{x}{2} \right) - 2 \ln \left( \cos\left( \frac{x}{2} \right) \right) + C [/tex]

Har en liten forkjærlighet for integraler skjønner du ^^

Ja, det er nok arbitrært hentet fra engelskspråket i min uendelige latskap ja

Undersøkte med norsklæreren på HiST, og han mente det var helt greit å bruke det. http://snl.no/arbitr%C3%A6r

Men når sant skal sies, så får jeg alltid en uggen følelse når jeg bruker ordet likevel, siden det er såpass "billig" å låne ord på den måten.



Men on-topic, så vil jeg takke for hjelpa! Alltid en god følelse å lære et nytt konsept. Hva skulle jeg gjort uten dette forumet

Etter ei skikkelig fyllekule er det alltid godt å venne tilbake her ja.

Slengte opp en alternativ løsning jeg, håper den ser grei ut. Er fortsatt litt uggen. =)

Ser du får et annet fortegn for siste ledd i svaret enn meg.

Nebuchadnezzar wrote:[tex]2 \int \tan(u)dx \, = \, 2 \int \frac{\sin(u)}{\left( sin(u) \right)^{\tiny\prime }} dx \, = \, 2 \ln \left( \cos\left( \frac{x}{2} \right) \right) + C [/tex]

Uten at jeg er sikker, så tror jeg det kommer herfra. Å integrere en tangensfunksjon gir vel negativt fortegn for logaritmeutfallet om jeg ikke husker feil.

Helt riktig det, man får negativt fortegn =) Slurvefeil.