matematikk.net

Du kan nok ikke forkorte på den måten. Men ja, de (to) likningene er de eneste kravene z trenger å oppfylle. Problemet blir å finne uendelig mange forskjellige z = (z1,z2,z3).

Takk skal du ha.

Jeg tror jeg bare må innse at jeg ikke helt klarer å løse dette problemet og kun har en delvis forståelse for oppgaven. Jeg må etter hvert gå videre i pensum og kan ikke dvele med dette problemet lenger. Trøster meg med at jeg tross alt fikk til en god del av oppgavene i kapittel 1, men denne får jeg bare halvveis til.

Jeg setter imidlertid stor pris på hjelpen og tålmodigheten din . Dersom du har lyst til å vise meg ditt løsningsforslag, så setter jeg stor pris på det, men det er opp til deg.

Løsningsforslag:

[tex]|z-x|=r[/tex]
[tex]|z-y|=r[/tex]

Roterer og translaterer rommet slik at [tex]\vec{x}=\vec{0}[/tex] og [tex]\vec{y}=(y_1,0,0,...,0)[/tex]. Ligningene blir dermed

[tex]\sum_{i=1}^k z_i^2=r^2[/tex] og

[tex]-2z_1y_1+y_1^2+\sum_{i=1}^k z_i^2=r^2[/tex].

[tex]y_1^2=2z_1y_1[/tex]

La [tex]y_1=d> 0[/tex], så [tex]z_1=\frac12 d[/tex]

Ligningene reduserer seg derfor til at [tex]\sum_{i=2}^kz_i^2=r^2-\frac14 d^2=(r-\frac12 d)(r+\frac12 d)[/tex].

i) Dersom [tex]r>\frac12 d[/tex] er høyresida positiv og ligningen korresponderer til en (k-2)-sfære. Anta at [tex]k\geq 3[/tex]. Lar vi høyresida være lik [tex]C^2>0[/tex] har vi f.eks. som løsninger [tex]z_2=pC[/tex] , [tex]z_3=\sqrt{1-p^2}C[/tex] der [tex]0\leq p\leq 1[/tex] er et reelt tall. (og alle andre z-komponenter er 0) Siden det fins uendelig mange reelle tall i det lukkede enhetsintervalllet [0,1], fins det uendelig mange løsninger på ligningssystemet.

Takker så mye!

Dette tror jeg ikke at jeg hadde fått til selv om jeg hadde prøvd videre. Er nok rett og slett ikke vant til denne typen problemer. Får håpe det går seg til etter hvert! Regner med jeg ikke er den eneste som opplever at overgangen til et beviskurs er vanskelig.