matematikk.net

Janhaa wrote:

Nebuchadnezzar wrote:ops tenkte mer på når vi har det enkle tilfellet bare og et tilfelle hvor x ikke er alene
[tex]240x \equiv 8 \text{mod}(198)[/tex]
Føler jeg stiller så mange dumme spørsmål, men er bedre å stille dumme spørsmål nå enn på eksamen.

kan man her forenkle

[tex]30x \equiv 1 \pmod{198}[/tex]

plutarco?

Nei, men du kan forenkle til [tex]120x\equiv 4\,mod(99)[/tex] (dvs dele alt på gcd(240,8,198) (eller enhver felles faktor)). Inverser er annerledes definert i moduloregning enn for reelle tall (avhengig av modulo), der f.eks. [tex]8^{-1}=\frac{1}{8}[/tex], så det du kan gjøre er å si at [tex]240*8^{-1}x\equiv 1\,mod(198)[/tex], men da må du finne [tex]8^{-1}\, mod(198)[/tex], noe som ikke alltid er like enkelt. Inversen til y modulo z er for øvrig definert som et tall x slik at [tex]x*y\equiv 1 mod(z)[/tex]

Nebuchadnezzar wrote:

Janhaa wrote: [tex]5k \equiv 1+6*1-2 (\text{mod6})[/tex]
[tex]5k \equiv 5 (\text{mod6})[/tex]
[tex]k \equiv 1 (\text{mod6})[/tex]

Skjønner ikke bæret her jeg. Blir frustrert over at jeg ikke forstår noenting av det over. Hoppet inn i faget tallteori litt seint, så prøver å jobbe litt hardt ei stund for å komme asur.
Bruker du at
[tex]2 + 5k \equi 1 (\text{mod6})[/tex]
Er det samme som
[tex]5k + 7 \equiv 1(\text{mod6})[/tex]
oppgaver :p

ok, forstår...

jeg mangler mye på å kunne dette, har bare undervist matte X på vgs 2 år...

ok, forstår...

[tex]2 + 5k \equiv 1 (\text{mod6})[/tex]
Er det samme som
[tex]5k + 7 \equiv 1(\text{mod6})[/tex]
nei, tror ikke det, fordi


[tex]2 +5+ 5k \equiv 1+5 (\text{mod6})[/tex]

[tex]5k +7\equiv 6 (\text{mod6})[/tex]

[tex]5k +7\equiv 6 +(-6)*1(\text{mod6})[/tex]

[tex]5k +7\equiv 0(\text{mod6})[/tex]

plutarco wrote:

Janhaa wrote:

Nebuchadnezzar wrote:ops tenkte mer på når vi har det enkle tilfellet bare og et tilfelle hvor x ikke er alene
[tex]240x \equiv 8 \text{mod}(198)[/tex]
Føler jeg stiller så mange dumme spørsmål, men er bedre å stille dumme spørsmål nå enn på eksamen.

kan man her forenkle
[tex]30x \equiv 1 \pmod{198}[/tex]
plutarco?

Nei, men du kan forenkle til [tex]120x\equiv 4\,mod(99)[/tex] (dvs dele alt på gcd(240,8,198) (eller enhver felles faktor)). Inverser er annerledes definert i moduloregning enn for reelle tall (avhengig av modulo), der f.eks. [tex]8^{-1}=\frac{1}{8}[/tex], så det du kan gjøre er å si at [tex]240*8^{-1}\equiv 1\,mod(198)[/tex], men da må du finne [tex]8^{-1}\, mod(198)[/tex], noe som ikke alltid er like enkelt. Inversen til y modulo z er for øvrig definert som et tall x slik at [tex]x*y\equiv 1 mod(z)[/tex]

Ahhh, takk...

Følt så tungt jeg har for å skjønne dette da.La oss konkretisere et lie øyeblikk

La oss si at det stemmer at

[tex]5k + 7 \equiv 0 ( \text{mod} 6 )[/tex]

Prøver vi oss med for eksempel 3 får vi jo at

[tex]\frac{5\cdot 3+7}{6}=k [/tex]

[tex]\frac{22}{6}=k [/tex]

Derimot ser vi at

[tex]\frac{22+2}{6}=k [/tex] og [tex]\frac{22-4}{6}=k [/tex]

Så sånnsett virker jo det som om

[tex]5k+7 \equiv 2 \text{mod} 6 )[/tex]

Så om jeg forstår rett hva du gjør, så stemmer det at

[tex]x + b \equiv c ( \text{mod} 6 )[/tex]

[tex]x \equiv \left( c - b \right) ( \text{mod} 6 )[/tex]

?

Hadde ikke x-matte så :p

Nebuchadnezzar wrote: Og uten at jeg sier det for sikkert så tror jeg den omskrivningen din er lov. Står i boka her at man kan gange en kongrugens med et tall.Litt usikker på om det gjelder deling og. boka er god den, men altfor mye bevis, og litt lite konkrete oppgaver :p

Det gjelder ikke for deling! Her er det lett å komme opp med moteksempler selv. Bare prøv. Husker jeg synes det samme om boken selv, men den vokste på meg.

Innlegget over:
Det stemmer at [tex]5k + 7 \equiv 0 (mod 6)[/tex]. Dette er det samme som:
[tex]5k \equiv -7 \equiv -7 + 2*6 = 5 (mod 6)[/tex], så [tex]5k \equiv 5 (mod 6)[/tex]. Det stemmer ikke at en generelt kan fjerne felles faktor, men via. et fint teorem i boken (seksjon 4.3, tror jeg), kan vi fjerne den dersom vi deler modulusen på største felles divisor mellom modulusen og felles faktoren. gcd(5,6)=1 (ser du et fint korollar?), så vi kan fritt bare fjerne den felles faktoren og sitte igjen med:
[tex]k \equiv 1 (mod 6)[/tex]. Så løsningene er på formen:
[tex]k = 1 + 6 \mathbf{Z}[/tex].
Det du skriver om at [tex]x+b \equiv c (mod n)[/tex] er det samme som [tex]x \equiv (c-b) (mod n)[/tex] er selvfølgelig helt sant.

Jeg forstår fortsatt ikke hvorfor alt det du sier er sant =(

Vi vet at

[tex]a \equiv b (\text{mod}n) = n|a-b \Leftrightarrow \frac{a-b}{n} \; \; n \in \math{Z} [/tex]
[tex]b \equiv a (\text{mod}n) = n|b-a \Leftrightarrow \frac{b-a}{n} \; \; n \in \math{Z} [/tex]

Så om det stemmer at

[tex]5k + 7 \equiv 2 (\text{mod}6)[/tex]

Må ikke dette stemme for alle k, eller blingser jeg fælt? Må jeg huske på restriksjonene fra forrige oppgave? Dette gjør meg litt forvirra. Jeg fant i det minste en haug med verdier det ikke stemte for. 4fks 5fks 6fks

Så når du skriver for eksempel

[tex]5k \equiv -7 \equiv -7 + 2*6 = 5 (mod 6)[/tex]

Så gjør den skrivemåten meg dessverre bare mer forvirret

La meg prøve på min egen måte :p

[tex]5k + 7 \equiv 2 (\text{mod}6)[/tex]

[tex]5k + 7 - 7 \equiv (2-7) (\text{mod}6)[/tex]

[tex]5k + \equiv -5 (\text{mod}6)[/tex][/quote]

Eller

[tex]5k + 7 \equiv 2 (\text{mod}6)[/tex]

[tex]5k + 6+1 \equiv 2 (\text{mod}6)[/tex]

[tex]5k + 1 \equiv 2 (\text{mod}6)[/tex]

[tex]5k \equiv 1 (\text{mod}6)[/tex]

Føler jeg har gjort noe feil nå...

-7 = -1 + -6 og -6 er 0 i mod 6 mmm...

Vet nå at jeg kan fjerne den felles faktoren [tex]c[/tex]

[tex]ac \equiv bc (\text{mod}n)[/tex]

Dersom a og b er innbyrdes primske. Så ja kunne noen se over det jeg har gjort over èn gang til å forklare det med en kjempestor t-skje. Gjerne de som har prøvd før, bare føler meg så dum når jeg forstår så lite. Prøver dog hardt =)

[tex]5k + 7 \equiv (\text{mod}6) [/tex]
Er en ond oppgavesak

[tex]5k+7\equiv 2\,mod(6)[/tex]

([tex]7\equiv 1[/tex])

[tex]5k+1\equiv 2\,mod(6)[/tex]

Trekk fra 1 på begge sider:

[tex]5k\equiv 1\,mod(6)[/tex]

5 er sin egen multiplikative invers modulo 6, så vi ganger begge sider med 5:

[tex]5*5k\equiv 5*1\,mod(6)[/tex]

[tex]25\equiv 1 \, mod(6)[/tex], så

[tex]k\equiv 5\,mod(6)[/tex]

Konklusjon:

k=5+6n for alle heltall n

Begge resonnementene du har gjort er riktige. Det ser derimot ut som om det er noe forvirring med hva oppgaven er, ettersom jeg har regnet på en annen. Hehe.

Det trenger ikke stemme for alle k! Oppgaven din er å finne ut nøyaktig HVILKE k det stemmer for. Altså: Finn k slik at 5k+7 gir rest 2 når du deler på 6.
Alt jeg gjør er å legge til (multipler av) 6. For vi vet at:
[tex]-7 \equiv -1 \equiv 5 (mod 6)[/tex].
Feil. Dersom du har:
[tex]ca \equiv cb (mod n)[/tex] kan du kun "fjerne" c dersom du lar d=gcd(c,n) og skriver [tex]a \equiv b (mod n/d)[/tex]. Dersom c og n er relativt primiske blir det selvfølgelig n/1 = n, og du trenger ikke endre modulusen.

La oss se på oppgaven:
[tex]5k + 7 \equiv 2 (mod 6)[/tex]. Dette er selvfølgelig det samme som:
[tex]5k \equiv 1 (mod 6)[/tex]. Nå skulle vi gjerne ønske å fjerne dette 5-tallet foran k, slik at vi får k for seg selv. Siden vi kan gange hele kongruensen med hva vi vil, kan vi gjøre noe smart. Finn et tall slik at når du ganger det med 5 blir resten 1 modulo 6.
De forskjellige tallene er 0,1,2,3,4,5 (siden alt over kan gjøres om til en av disse tallene ved å se på resten modulo 6. Åpenbart gjør ikke 0 eller 1 noe stor nytte.
[tex]2 \cdot 5k = 10k \equiv 4k (mod 6)[/tex]
[tex]3 \cdot 5k = 15k \equiv 3k (mod 6)[/tex]
[tex]4 \cdot 5k = 20k \equiv 4k (mod 6)[/tex]
[tex]5 \cdot 5k = 25k \equiv 1k (mod 6)[/tex]
Så dersom vi ganger kongruensen med 5, kan vi trekke fra multipler av 6 slik at vi kun står igjen med k! Den opprinnelige kongruensen blir da:
[tex]k \equiv 5 (mod 6)[/tex]. Så svaret er da alle [tex]k=5+ 6 \mathbf{Z}[/tex] (5 + multipler av 6).