matematikk.net

Men husk at [tex]z^2 = x^2 - y^2 + 2xy i \neq x^2 + y^2[/tex]!

Men det du kan si med en gang er at hvis [tex]1 \leq |z| \leq 2[/tex] så er [tex]1 \leq |z^2| \leq 4[/tex], ikke sant? Så du vet at området i alle fall blir en 'smultring' med indre radius 1 og ytre radius 4. Når det gjelder vinklene så kan du bruke at [tex]\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2[/tex]. Dette er en av de grunnleggende egenskapene med kompleks multiplikasjon - at argumentet til produktet er lik summen av argumentene til hvert tall. Jeg vet ikke om dette er kjent stoff for deg eller ikke? Hvis du er kjent med polarform så ser du det som sagt ved å skrive om z til polarform også.

EDIT: Nå ser jeg at det jo er nettopp at arg(z*z) = arg z + arg z du har brukt

Men det som går galt hos deg er at du begynner å si at [tex]\frac{\pi}{2} \leq \arg(z \cdot z) \leq \frac{3\pi}{4}[/tex]. Det er jo ikke riktig? Det er argumentet til z, ikke z * z som ligger i dette intervallet! Det du må gjøre er å se på hva som skjer med ytterpunktene i dette intervallet når du ganger tallet med seg selv. Hva skjer med tall som har argument [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]? Hva skjer med tall som har argument [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]? Hva blir de nye argumentene? De blir da endepunktene i intervallet som avgrenser R.

Øøøøø, tror ikke jeg er kjent med noen ting for øyebikket

Så du sier at hvis
[tex]1 \le z \le 2[/tex]
så er
[tex]1^2 \le z^2 \le 2^2[/tex]
Som tilsvarer radiusen?

Men joda, jeg prøvde meg jo på arg(z*z) = arg(z) + arg(z) = 2arg(z). Så dele den på to samtidig som begge vinklene deles på to, og da tenkte jeg at man fikk theta for z^2.

Ja, ser at du gjorde det nå . Se redigeringen min ovenfor.

Og ja, ang. radiusen så er det det jeg mener. Hvis du f.eks. har et tall i D som har radius 2 så får det radius 4 etter det er ganget med seg selv.

Det er da lov å se feil av og til *kremt*

Så jeg må gjøre noe med selve verdiene også. Hehe jeg vet ikke jeg...

Men ok, hva skjer med et tall som har argument [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].. Tallet går mot pluss uendelig? Og når det ganges med seg selv så vil vi fremdeles få pluss uendelig?

Tall som har argument [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex] har verdi -1. (-1)^2 = 1, så den nye vinkelen blir [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]. Evt [tex]\frac{\pi}{4}+\pi[/tex].

????

Beklager jeg, var nok litt uklar i sted.

Vi vet nå at verdimengden til funksjonen er et 'smultringområde' det også, der [tex]1 \leq |w| \leq 4[/tex]. Nå må vi finne grensene for argumentet til w.

Definisjonsmengden er jo avgrenset slik at det bare er tallene som har argument mellom [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] og [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex], ikke sant? Hvis du ser på et vilkårlig tall på 'kanten' der vinkelen er [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] så vet du at når dette opphøyes i andre så blir argumentet til det nye tallet lik det dobbelte av det det var før (siden arg(z*z) = 2arg(z)). Så med andre ord blir den nye nedre grensen i verdimengden vinkelen [tex]2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi[/tex]. Så ser vi på tallene som har argument [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]. Når disse ganges med seg selv så får de argumentet [tex]2 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}[/tex]. Altså er den øvre grensen for argumentet i verdimengden [tex]\frac{3\pi}{2}[/tex]. Altså må [tex]\pi \leq \arg w \leq \frac{3\pi}{2}[/tex].

Åjaaa skjønner!

Takk