Posted: 30/04-2012 22:49
Definisjonsområdet til denne funksjonen er jo unionen av to intervaller, så svaret blir vel ja. Skal man tro definisjonen vil f.eks. restriksjonen av f(x) på intervallet [tex](5,\infty) [/tex] definere en kurve da f er kontinuerlig og definert på dette intervallet.
Forskjellen mellom graf og kurve er altså at grafen er punktene {(x,f(x))} der x>5 (i eksempelet) inntegnet i koordinatsystemet, mens kurven er den kontinuerlige avbildningen [tex]\gamma:(5,\infty)\to \mathbb{R}^2[/tex] gitt ved at [tex]\gamma (x)=(x,f(x))[/tex].
(Man kan vel si at grafen til funksjonen f er det samme som bildet av kurven [tex]\gamma[/tex].)
(For å vise at denne er kontinuerlig må du vise at for hver [tex]\epsilon>0[/tex] eksisterer det en [tex]\delta>0[/tex], slik at for alle y>5 og alle x slik at [tex]|x-y|<\delta[/tex] medfører at [tex]||\gamma(x)-\gamma(y)||<\epsilon[/tex], der ||.|| er vanlig euklidsk norm.)
Dette betyr jo også at det kan eksistere to ulike kurver som har samme bilde, slik det ble påpekt tidligere. F.eks. [tex]\gamma_1(x)=(x,1)[/tex] og [tex]\gamma_2(x)=(2x,1)[/tex] for alle reelle x.
Forskjellen mellom graf og kurve er altså at grafen er punktene {(x,f(x))} der x>5 (i eksempelet) inntegnet i koordinatsystemet, mens kurven er den kontinuerlige avbildningen [tex]\gamma:(5,\infty)\to \mathbb{R}^2[/tex] gitt ved at [tex]\gamma (x)=(x,f(x))[/tex].
(Man kan vel si at grafen til funksjonen f er det samme som bildet av kurven [tex]\gamma[/tex].)
(For å vise at denne er kontinuerlig må du vise at for hver [tex]\epsilon>0[/tex] eksisterer det en [tex]\delta>0[/tex], slik at for alle y>5 og alle x slik at [tex]|x-y|<\delta[/tex] medfører at [tex]||\gamma(x)-\gamma(y)||<\epsilon[/tex], der ||.|| er vanlig euklidsk norm.)
Dette betyr jo også at det kan eksistere to ulike kurver som har samme bilde, slik det ble påpekt tidligere. F.eks. [tex]\gamma_1(x)=(x,1)[/tex] og [tex]\gamma_2(x)=(2x,1)[/tex] for alle reelle x.