matematikk.net

wingeer wrote:Briljant svar. :)

Det var det eneste steget jeg var usikker på med det med det første.
Men vil det ikke følge siden f' er stykkvis kont. på et kompakt intervall? Eller vil man f.eks. kunne si at tan(x) også er stykkvis kont. på [0,2pi]?
Hvis f er C^1 er det jo bare fryd og gammen. Det som gjorde meg usikker.

tan(x) er ikke definert i [tex]x=\pi [/tex].

[tex]f:[-1,1]\to\mathbb{R}[/tex] gitt ved at [tex]f(x)=x^{-1}[/tex] på (0,1] og [tex]f(x)=1[/tex] på [-1,0] er ubegrenset, definert i alle punkter og stykkvis kontinuerlig (ifølge flere bøker jeg har sett), og følgelig ikke Riemann-integrerbar.

EDIT: rettet opp i noen tvilsomme setninger.

Jeg finner dessverre ingen god definisjon på stykkvis C^1, og jeg ser at planetmath definerer en stykkvis glatt funksjon som en funksjon med begrenset derivert, så det kan kanskje hende at det hele bunner i forvirring rundt definisjonen..

I alle tilfeller er beviset ditt riktig dersom vi legger til at f og f^, er begrensede.

Tusen takk for hjelpen, Plutarco! Jeg tenker jeg skal høre med foreleser hva han mener ved neste anledning. Jeg kan heller oppdatere om det blir noe klarere.

wingeer wrote:Tusen takk for hjelpen, Plutarco! Jeg tenker jeg skal høre med foreleser hva han mener ved neste anledning. Jeg kan heller oppdatere om det blir noe klarere. :)

Ja, det hadde vært interessant å høre hva han sier. Slik jeg ser det burde man i oppgaven presisert at f og f^, i tillegg må være begrenset.

Fikk lånt med boka du refererte til (Stein, ..) . På side 31 står det faktisk at stykkvis kontinuerlige funksjoner er antatt å være begrenset.

Ah, se der. Så det følger fra def. altså. Er det vanlig praksis å kreve at stykkvis kontinuerlige funksjoner er begrensede? Finnes det stykkvis kontinuerlig funksjoner som ikke er begrensede? Definisjonsspørsmål?

Tja, virker som det i alle fall er mer vanlig å kreve at de er begrensede, dog har jeg sett minst én definisjon i en annen bok der dette ikke er forutsatt.

Jeg har som sagt ikke klart å finne en formell definisjon av begrepet "piecewise C^1". Jeg antar at det betyr at funksjonen f er

1. stykkvis kontinuerlig og begrenset
2. deriverbar på en åpen delmengde hvis komplement har mål 0.
3. den deriverte er stykkvis kontinuerlig og begrenset
4. de eneste formene for diskontinuiteter er "jump"-diskontinuiteter eller hevbare.

Ser ut som den boka du referte til har en anvendt tilnærming som skorter litt på det formelle, kanskje litt rettet mot ingeniører(?).. Uansett greit å ha i bakhodet.