matematikk.net

Som jeg skrev tidligere

Nebuchadnezzar wrote:Og merk at betingelsen din burde vært enten $4c - b^2 = -\pi^2/100$ eller $b^2 - 4c = \pi^2/100$
fordi en ikke kan ta roten av noe negativt. Uansett

Så atter en skrivefeil i oppgaven.

mentalitet wrote:Trenger litt input her..

Evaluér




Forstår at jeg må omskrive dette, men ser (enda) ikke helt hvordan. Har prøvd å benytte meg av informasjonen på toppen av oppgaven, men har enda ikke greid å skrive det renere. Tipper jeg skal få det på formen arcsin(u) når det er integrert.. Noen som kan gi meg et hint eller to?

Siden [tex]c=\frac{b^2}4+\frac{\pi^2}{400}[/tex] er [tex]x^2+bx+c = x^2+bx+\frac{b^2}4+\frac{\pi^2}{400} = (x+\frac b2)^2+\frac{\pi^2}{400} = \frac{\pi^2}{400}(1+u^2)[/tex] hvis man setter [tex]u=\frac{10}\pi(2x+b)[/tex]. Prøv å følge denne substitusjonen til mål - integranden blir litt penere nå, og det blir grensene også.

Hvordan kom du frem til den substitusjonen?

Uansett, når jeg integrerer uttrykket ender jeg opp med:


Jeg setter inn så inn og løser det bestemte integralet. Ender opp med et svar ~16. (Brukte wolfram til å dobbeltsjekke..) hvah ar jeg gjort feil?

mentalitet wrote:Hvordan kom du frem til den substitusjonen?

Jeg gjorde denne substitusjonen fordi det gjør at vi får et arctan-integral, og det veit jeg at er greit å løse. Hvis du integrerer mye utvikler du en intuisjon for hvilke substitusjoner som er lure å gjøre.

mentalitet wrote:Uansett, når jeg integrerer uttrykket ender jeg opp med:


Jeg setter inn så inn og løser det bestemte integralet. Ender opp med et svar ~16. (Brukte wolfram til å dobbeltsjekke..) hvah ar jeg gjort feil?

Da har du nok bare slurva litt, det er riktig at du får noe arctan u-aktig. Det ser ut som du har glemt at vi får et annet differensial når vi endrer variabel; du=20dx/pi.

Nå skjønner jeg faktisk ikke lenger hva som gjør at jeg får feil..



S

mentalitet wrote:Nå skjønner jeg faktisk ikke lenger hva som gjør at jeg får feil..



S

Ser jo fint ut dette! Du skal integrere fra [tex]x=-\frac b2[/tex] til [tex]x=\frac\pi{20}-\frac b2[/tex]. De nye grensene for integralet blir altså fra [tex]u = \frac{20x}\pi+\frac{10b}\pi = \frac{20\cdot(-\frac b2)}\pi +\frac{10b}\pi = 0[/tex] til [tex]u=\dots[/tex].

Textips: Skriv \pi for pi.

Ah, nåååå gikk det opp et lys for meg her! Hvorfor setter du ikke bare btw?

mentalitet wrote:Ah, nåååå gikk det opp et lys for meg her! Hvorfor setter du ikke bare btw?

Tenkte det samme, men det blir vel $x^2+b+\frac {b^2}{4}$

mentalitet wrote:Trenger litt input her..

Evaluér




Forstår at jeg må omskrive dette, men ser (enda) ikke helt hvordan. Har prøvd å benytte meg av informasjonen på toppen av oppgaven, men har enda ikke greid å skrive det renere. Tipper jeg skal få det på formen arcsin(u) når det er integrert.. Noen som kan gi meg et hint eller to?

This should do the trick:
[tex]I = \int\limits_{ - b/2}^{(\pi - 10b)/20} {{{dx} \over {{x^2} + bx + c}}} = \int\limits_{ - b/2}^{(\pi - 10b)/20} {{{dx} \over {{{(x + {b \over 2})}^2} + c - {{{b^2}} \over 4}}}}[/tex]
Videre vet vi sammenhengen:
[tex]4c-b^{2}=\frac{\pi^{2}}{100} \Longleftrightarrow c-\frac{b^{2}}{4}=\frac{\pi^{2}}{400} \Longleftrightarrow c-\frac{b^{2}}{4}=(\frac{\pi}{20})^{2}[/tex]
Substituerer inn i integralet:
[tex]I = \int\limits_{ - b/2}^{(\pi - 10b)/20} {{{dx} \over {{{(x + {b \over 2})}^2} + {{({\pi \over {20}})}^2}}}}[/tex]
Velger [tex]a=\frac{\pi}{20}[/tex] og [tex]u=x+\frac{b}{2}[/tex]. Får også: [tex]du=dx[/tex].
[tex]I = \int\limits_0^a {{{du} \over {{u^2} + {a^2}}}} = {\left[ {{1 \over a}\arctan ({u \over a})} \right]_0}^a = {{20} \over \pi }\arctan (1) = {{20} \over \pi }{\pi \over 4} = 5[/tex]