matematikk.net

Aleks855 wrote:

Johan Nes wrote:Takk for et grundig svar, Nebuchadnezzar.

Jeg bruker også å sjekke reglene med tall når jeg er i tvil eller ikke har boken for hånd eller rett og slett bare ønsker å være mer selvstendig.

Det gjorde jeg i går og i teorien trodde jeg at $ \hspace{1cm}
(6e^{2\pi i})^2 = 36 (e^{4 \pi i} )
$

Jeg gjorde det samme som deg her. Men når jeg tok kontroll (og jeg prøvde nettopp igjen), så får jeg 36 til venstre for likhetstegnet, men når jeg multipliserer ut uttrykket til høyre får jeg svaret: 36-7,2E-12i.

Har du gjort noe feil her eller er det jeg som misforstår et eller annet?

Hvis du bruker at $e^{i\pi} = -1$ på høyre side, så vil du nok bare få 36.

Da får jeg vel [tex]-36[/tex]?

Og uansett er det vel [tex]e^{4 \pi i}[/tex]
og ikke [tex]e^{\pi i}[/tex]
? Det blir vel to forskjellige uttrykk?

Hmmm...nei, jeg er fortsatt ikke med her.

$e^{4\pi i} = \cos 4 \pi + i \sin 4 \pi = 1 + 0 = 1$

$e^{4 \pi i} = (e^{\pi i})^4 = (-1)^4 = 1$

$e^{ \pi n i} = \cos \pi n + i \sin \pi n = \cos \pi n + 0 = (-1)^n $

Johan Nes wrote:

Aleks855 wrote:
Hvis du bruker at $e^{i\pi} = -1$ på høyre side, så vil du nok bare få 36.

Da får jeg vel [tex]-36[/tex]?

Og uansett er det vel [tex]e^{4 \pi i}[/tex]
og ikke [tex]e^{\pi i}[/tex]
? Det blir vel to forskjellige uttrykk?

Hmmm...nei, jeg er fortsatt ikke med her.

Du burde muligens repetere litt potensregler.

Bruker du at $a^{bc} = (a^b)^c$ så får du det Nebu skriver i sin 2. linje over her.

Nebuchadnezzar wrote:$e^{4\pi i} = \cos 4 \pi + i \sin 4 \pi = 1 + 0 = 1$

$e^{4 \pi i} = (e^{\pi i})^4 = (-1)^4 = 1$

$e^{ \pi n i} = \cos \pi n + i \sin \pi n = \cos \pi n + 0 = (-1)^n $

Med på den utregningen.

Men det som forvirrer meg her er at når jeg taster dette inn på kalkulator, så får jeg ulike svar for [tex]e^{4\pi i}[/tex] og [tex](e^{\pi i})^{4}[/tex].

Har det noe med det komplekse tallet å gjøre eller er det jeg som gjør noe feil?

Takk for tålmodigheten.

Uttrykkene er like, og ting som komplekse tall burde du klare
uten kalkulator. På NTNU er det kun tillatt med elementær kalkulator
+ - * exp log og trigonometriske funksjoner. Pluss som Alex sier
pugge litt potensregler.

Nebuchadnezzar wrote:Uttrykkene er like, og ting som komplekse tall burde du klare
uten kalkulator. På NTNU er det kun tillatt med elementær kalkulator
+ - * exp log og trigonometriske funksjoner. Pluss som Alex sier
pugge litt potensregler.

Jeg bør nok pugge en del potensregler og langt mer også.

Jeg bruker ikke kalkulator på enkle ting, kun for å ta kontroll om jeg er i tvil om en utregning er gjort riktig. Nå ser det imidlertid ut som problemet her har vært at jeg har lagt inn uttrykket feil på kalkulator, da jeg fikk det til rett nå, så jeg må bare beklage bryderiet og igjen takke for hjelpen.

Jeg må krype til korset igjen. Har nå sittet over en time med denne oppgaven og kommer ingen vei.

[tex]z=-8+8\sqrt{3}i[/tex]

Når jeg skal finne [tex]\theta[/tex] har jeg tidligere brukt [tex]\tan^{-1}\left ( \frac{b}{a} \right )[/tex] for [tex]z = a + bi[/tex].


I dette tilfellet gir det [tex]-60[/tex] grader som jeg legger til [tex]360[/tex] for å få i første omløp. Altså [tex]300[/tex] grader.


Dette ser imidlertid ut til å være feil. Fikk feil på slutten av oppgaven jeg jobbet med. Når jeg visualiserer eller tegner opp tallet, så ser jeg jo at [tex]120[/tex] grader er rett svar, som også bekreftes av kalkulatoren når jeg tar kontroll der.

Har dette noe med symmetri rundt aksene å gjøre som jeg ikke har fått med meg? Kommer ingen vei nå i hvert fall.

For tangens og tangens invers legger du til 180 grader og ikke 360.
Siden tangens er definert for -pi/2 til pi/2. Altså -90 til 90.

Ellers er det langt mer normalt å regne vinkler i radianer på universitets, og
høyskole nivå.

Hmm...så enkelt var det.

Men cos (-60) = 0,50 og cos 120 = -0,5? Derfor gikk jeg utifra at jeg måtte legge til 360 grader for å få cos 300 = 0,50, altså samme som cos (-60). Grafisk gir også dette mer mening i mitt sinn, men skjønner at jeg tenker et eller annet feil her.

Boken sier nemlig: "Du finner theta ved å regne ut tan -1 (b/a) på digitalt verktøy. Da får du en vinkel mellom -90 og 90 grader. Av og til må du legge til 180 grader eller 360 grader til den vinkelen verktøyet gir"

Forøvrig er dette Matematikk X (aschehoug), så det er ikke helt universitetsnivå, men bruker radianer når oppgaven/boken legger opp til det.

Har holdt på noen timer med dette nå og søkt litt rundt på nettet, men jeg greier ikke helt å skjønne [tex]\arctan[/tex].

Vi kan godt forenkle eksemplet fra forrige oppgave. La oss se på et komplekst tall [tex]z = -3 + 4i[/tex]

[tex]\arctan \left ( \frac{4}{-3} \right ) = -53,13[/tex] grader.

Men argumentet til dette tallet er vel -53,13 + 180 = 126,87 grader?

Det jeg lurer på er hvorfor man ikke får 135 grader på direkten? Det er vel fordi tangens kun er definert mellom -90 og 90 grader. Stemmer...

[tex]-z1 = 3 - 4i[/tex]

[tex]\arctan = \left ( \frac{-4}{3} \right )= -53,13[/tex]

Og dette stemmer jo direkte. Da legger man ikke til noe.

Tror jeg begynner å skjønne det litt nå. Tenker høyt her egentlig etter hvert som jeg skriver.

Men hvorfor skriver boken min at for arctan må man "av og til" legge til 180 grader eller 360 grader? Er 360 grader en trykkfeil? Og når vet man når man skal legge til eller ikke? Må man bare tegne opp/visualisere hvilken kvadrant det komplekse tallet ligger i og dermed vite om man har fått vinkelen direkte eller om man må legge til?

Uff. Jeg er bare sykt trøtt nå. Jobber mye om dagen og har minimalt med tid til matematikk, men prøver å få inn noen minutter hver dag. Tror kanskje jeg skjønner det nå, selv om det tok litt tid. Men tar gjerne en forklaring/avklaring rundt 360 grader og om det er en feil.

Se for deg at kalkulatoren sier -359 grader. Legger man til 180 grader får man fremdeles ikke et resultat mellom -90 og 90. Men hvis man legger til 360 grader...

Merk at tangens-funksjonen er definert slik at $\tan(x) = \tan(x+n\cdot180)$ regnet i grader, så man finner bare en $n$ som gjør at argumentet faller innenfor det ønskede intervallet.

Takk, Aleks.