Integraler
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Ser riktig ut det =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Mer integrasjon! Begynner dessverre å forstå hva Viggo Brun mente når han sa at integrasjon er en kunst, mens derivasjon er håndverk.
Jeg skal regne ut buelengden til
[tex]f(t)=\frac{x^3}{12}+\frac{1}{x}[/tex]
fra 1 til 4. Ser at variabelen funksjonen er t, men at de bruker x på høyre side. Noe jeg misforstår eller en feil? Jeg antar at det skulle stå x.
Bruker da formelen for buelengde og får:
[tex]L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+(\frac{1}{4}x^3-\frac{1}{x^2})^2}[/tex]
Ganger ut potensen og får:
[tex]\int_{1}^{4}\sqrt{1+\frac{1}{16}x^6-\frac{1}{2}x+\frac{1}{x^4}}[/tex]
Om man vil trekke sammen ytterligere til fellesnevner får man
[tex]\int_{1}^{4}\sqrt{\frac{16x^4+x^{10}-8x^5+16}{16x^4}}[/tex]
TROR utregningene mine skal være rett så langt, men mulig jeg alt har regnet "for langt?" Kommer nemlig ikke videre.
Fasiten gir følgende hint: Uttrykket under rottegnet kan faktoriseres som et fullstendig kvadrat.
Som vanlig, takknemlig for svar.
Jeg skal regne ut buelengden til
[tex]f(t)=\frac{x^3}{12}+\frac{1}{x}[/tex]
fra 1 til 4. Ser at variabelen funksjonen er t, men at de bruker x på høyre side. Noe jeg misforstår eller en feil? Jeg antar at det skulle stå x.
Bruker da formelen for buelengde og får:
[tex]L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+(\frac{1}{4}x^3-\frac{1}{x^2})^2}[/tex]
Ganger ut potensen og får:
[tex]\int_{1}^{4}\sqrt{1+\frac{1}{16}x^6-\frac{1}{2}x+\frac{1}{x^4}}[/tex]
Om man vil trekke sammen ytterligere til fellesnevner får man
[tex]\int_{1}^{4}\sqrt{\frac{16x^4+x^{10}-8x^5+16}{16x^4}}[/tex]
TROR utregningene mine skal være rett så langt, men mulig jeg alt har regnet "for langt?" Kommer nemlig ikke videre.
Fasiten gir følgende hint: Uttrykket under rottegnet kan faktoriseres som et fullstendig kvadrat.
Som vanlig, takknemlig for svar.
Du har bommet på deriveringen. [tex]f^\prime (x) = \frac{x^2}{4}-\frac{1}{x^2}[/tex]
Bruker du dette får du:
[tex]L = \int_1^4 \sqrt{1+\left(\frac{x^4-4}{4x^2}\right)^2}\mathrm{d}x = \int_1^4\sqrt{1+\frac{x^8-8x^4+16}{16x^4}}\mathrm{d}x = \int_1^4\sqrt{\frac{16x^4+x^8-8x^4+16}{16x^4}}\mathrm{d}x = \int_1^4\frac{1}{4x^2}\sqrt{x^8+8x^4+16}\mathrm{d}x[/tex]
Som du ser kan skrives som
[tex]\int_1^4 \frac{1}{4x^2}\sqrt{(x^4+4)^2}\mathrm{d}x = \int_1^4 \frac{x^4+4}{4x^2}\mathrm{d}x[/tex]
Bruker du dette får du:
[tex]L = \int_1^4 \sqrt{1+\left(\frac{x^4-4}{4x^2}\right)^2}\mathrm{d}x = \int_1^4\sqrt{1+\frac{x^8-8x^4+16}{16x^4}}\mathrm{d}x = \int_1^4\sqrt{\frac{16x^4+x^8-8x^4+16}{16x^4}}\mathrm{d}x = \int_1^4\frac{1}{4x^2}\sqrt{x^8+8x^4+16}\mathrm{d}x[/tex]
Som du ser kan skrives som
[tex]\int_1^4 \frac{1}{4x^2}\sqrt{(x^4+4)^2}\mathrm{d}x = \int_1^4 \frac{x^4+4}{4x^2}\mathrm{d}x[/tex]