Page 2 of 2

Re: Separable differensiallikninger

Posted: 08/04-2015 17:18
by Johan Nes
Heisann,

Skulle gjerne hatt hjelp med følgende oppgave. Det er i et oppgavesett med startverdiproblemer hvor [tex]y(1)=0[/tex]
. Dette er vel en separabel differensiallikning?

[tex]2xy'=y^2-1[/tex]

Jeg skriver om slik:

[tex]y'=(y^2-1)\frac{1}{2x}[/tex]

[tex]\frac{1}{y^2-1}y'=\frac{1}{2x}[/tex]

[tex]\int \frac{1}{y^2-1}dy=\int \frac{1}{2x}dx[/tex]

Her må jeg vel anta at y ikke er 1?

Men i det jeg nå skriver ned dette innser jeg at oppgaveteksten spesifiserer at [tex]y(1)=0[/tex], så da går kanskje ikke det?

Har rotet litt med forskjellige ting, men kommer ikke helt i mål her. Setter pris på noen hint eller tips her. :)

Re: Separable differensiallikninger

Posted: 08/04-2015 17:19
by Johan Nes
Rett svar er forøvrig [tex]y=\frac{1-x}{1+x}[/tex]

Re: Separable differensiallikninger

Posted: 08/04-2015 17:24
by Lektorn
Har du prøvd å løse den ferdig?
Initialbetingelsen sier at y er 0 når x er 1.

Re: Separable differensiallikninger

Posted: 08/04-2015 18:17
by Johan Nes
Lektorn wrote: Initialbetingelsen sier at y er 0 når x er 1.
Stemmer. X = 1 og ikke Y = 1. Tenkte feil i farten.

Ja, har prøvd litt, men kommer ikke i mål. Er det jeg har gjort så langt rett da? :)

Re: Separable differensiallikninger

Posted: 08/04-2015 18:54
by Lektorn
Ja det ser rett ut. Høyre side regner jeg med du løser greit? Venstre side kan du prøve med delbrøkoppspalting.

Re: Separable differensiallikninger

Posted: 09/04-2015 11:59
by Johan Nes
Kom meg et lite stykke lenger, men fortsatt ikke helt i mål.

Delbrøkoppspalting gav meg [tex]\frac{1}{y^2-1}=\frac{\frac{1}{2}}{y-1}-\frac{\frac{1}{2}}{y+1}[/tex]

Ganger med 2 på begge sider og får nå:

[tex]\int \frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}dy=\int \frac{1}{x}dx[/tex]

Integrerer, trekker sammen logaritmeuttrykket til en brøk og opphøyer begge sider i e:

[tex]e^{ln|\frac{y-1}{y+1}|}=e^{ln|x|+C}[/tex]

[tex]|\frac{y-1}{y+1}|=|x|e^{C}[/tex]

Det jeg nå er usikker på er hva man gjør når man må løse opp absoluttverditegnet på begge sider? Har lært at når man gjør det på venstre side (som er det vanlige i de oppgavene jeg har regnet), så setter man [tex]\frac{+}{-}e^C=C[/tex]. Vil det også være tilstrekkelig her?

I så fall får vi vel:

[tex]\frac{y-1}{y+1}=Cx[/tex]

Rett så langt? Her har jeg nemlig ikke kommet lenger. Det gjenstår vel å finne et generelt uttrykk/løsning for y?

Re: Separable differensiallikninger

Posted: 09/04-2015 14:54
by Lektorn
Det ser bra ut så langt!
Videre nå må du løse med hensyn på $y$ og da må du gange med nevneren på begge sider, samle alle y-ledd på en side og faktorisere ut $y$.

Re: Separable differensiallikninger

Posted: 09/04-2015 16:35
by Johan Nes
Hmmm...sliter litt fortsatt. :(

[tex]\frac{y-1}{y+1}=Cx[/tex]

[tex]y-1=Cx(y+1)[/tex]

[tex]-1=Cxy+Cx-y\Leftrightarrow -1=y(Cx-1)+Cx\Leftrightarrow -1-Cx=y(Cx-1)[/tex]

[tex]y=\frac{-1-Cx}{Cx-1}[/tex]

Hva gjør jeg feil? For dette stemmer vel ikke helt? :)

EDIT: Feil.

Re: Separable differensiallikninger

Posted: 09/04-2015 19:27
by Lektorn
Hvorfor stemmer ikke den løsningen?
Bestem konstanten med initialbetingelsen, deriver og sjekke om likninen stemmer.

Re: Separable differensiallikninger

Posted: 11/04-2015 19:47
by Johan Nes
Stemte visst det, Lektor. :)

Men når jeg deriverer får jeg jo [tex]y'=\frac{-2}{(1+x)^2}[/tex]

Får ikke det til å bli det opprinnelige uttrykket for y'?