vanskelige oppgåver

[pit]

der,
[tex]\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{3}}\geq \sqrt[3]{2xyz}[/tex]

[Gustav]

der,
[tex]\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{3}}\geq \sqrt[3]{2xyz}[/tex]

Oppgaveteksten er nok riktig den, men det nebu sier om at løsningen er triviell stemmer ikke, såvidt jeg kan se.

Det du har fått her er jo en svakere ulikhet enn AM-GM brukt direkte uten føringen (altså $\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}$), så det er et lite interessant resultat i grunnen.

Bruker vi AM-GM på $(x+y+z)^2=4(xy+yz+zx)\geq 12(\sqrt[3]{xyz})^2\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\geq \frac{2\sqrt[3]{2xyz}}{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}}$, men denne er dessverre svakere enn det vi er blitt bedt om å vise, med en faktor på $\approx 0.9$.

[Guest]

En liten digresjon ;

Jeg har alltid lurt på hvordan man viser at en ulikhet stemmer? I vgs har vi bare lært hvordan vi løser en ulikhet, men ikke bevise at den stemmer.


f.eks,

[tex]\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}[/tex]

Jeg skjekker for et random tall x=2 og y=3
[tex]\frac{2+3}{2}=2.5[/tex]
[tex]\sqrt{xy}=\sqrt{2*3}=\sqrt{6}\approx 2.449[/tex]

det stemmer for x=2 0g y=3, men jeg må vel bevise at det stemmer for alle tall?

hva med induksjon? du har to variabler da?

[Gustav]

En liten digresjon ;

Jeg har alltid lurt på hvordan man viser at en ulikhet stemmer? I vgs har vi bare lært hvordan vi løser en ulikhet, men ikke bevise at den stemmer.


f.eks,

[tex]\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}[/tex]

Jeg skjekker for et random tall x=2 og y=3
[tex]\frac{2+3}{2}=2.5[/tex]
[tex]\sqrt{xy}=\sqrt{2*3}=\sqrt{6}\approx 2.449[/tex]

det stemmer for x=2 0g y=3, men jeg må vel bevise at det stemmer for alle tall?

hva med induksjon? du har to variabler da?

Akkurat denne er svært lett å bevise. Vi vet at $(x-y)^2\geq 0$, derfor er $x^2+y^2-2xy\geq 0$, og $x^2+y^2+2xy\geq 4xy$, så $(x+y)^2\geq 4xy$. Tar rota og får $x+y\geq 2\sqrt{xy}$.

Når det gjelder induksjon, så vil det være vanskelig å bruke på utellbare mengder. (da de reelle tall ikke er tellbare)

[Guest]

En liten digresjon ;

Jeg har alltid lurt på hvordan man viser at en ulikhet stemmer? I vgs har vi bare lært hvordan vi løser en ulikhet, men ikke bevise at den stemmer.


f.eks,

[tex]\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}[/tex]

Jeg skjekker for et random tall x=2 og y=3
[tex]\frac{2+3}{2}=2.5[/tex]
[tex]\sqrt{xy}=\sqrt{2*3}=\sqrt{6}\approx 2.449[/tex]

det stemmer for x=2 0g y=3, men jeg må vel bevise at det stemmer for alle tall?

hva med induksjon? du har to variabler da?

Akkurat denne er svært lett å bevise. Vi vet at $(x-y)^2\geq 0$, derfor er $x^2+y^2-2xy\geq 0$, og $x^2+y^2+2xy\geq 4xy$, så $(x+y)^2\geq 4xy$. Tar rota og får $x+y\geq 2\sqrt{xy}$.

ahh, smart ,, hvorfor er [tex](x-y)^2 \geq 0[/tex] bevis?

[Gustav]

Kvadrater er alltid ikkenegative

[Guest]

Kvadrater er alltid ikkenegative

jo, men hva med komplekse tall? [tex]i^2=-1[/tex]

[Gustav]

Kvadrater er alltid ikkenegative

jo, men hva med komplekse tall? [tex]i^2=-1[/tex]

Ulikheten over gjelder selvsagt kun for reelle $x,y$.