Re: vanskelige oppgåver
Posted: 04/07-2016 01:43
der,
[tex]\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{3}}\geq \sqrt[3]{2xyz}[/tex]
[tex]\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{3}}\geq \sqrt[3]{2xyz}[/tex]
Oppgaveteksten er nok riktig den, men det nebu sier om at løsningen er triviell stemmer ikke, såvidt jeg kan se.pit wrote:der,
[tex]\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{3}}\geq \sqrt[3]{2xyz}[/tex]
Akkurat denne er svært lett å bevise. Vi vet at $(x-y)^2\geq 0$, derfor er $x^2+y^2-2xy\geq 0$, og $x^2+y^2+2xy\geq 4xy$, så $(x+y)^2\geq 4xy$. Tar rota og får $x+y\geq 2\sqrt{xy}$.Gjest wrote:En liten digresjon ;
Jeg har alltid lurt på hvordan man viser at en ulikhet stemmer? I vgs har vi bare lært hvordan vi løser en ulikhet, men ikke bevise at den stemmer.
f.eks,
[tex]\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}[/tex]
Jeg skjekker for et random tall x=2 og y=3
[tex]\frac{2+3}{2}=2.5[/tex]
[tex]\sqrt{xy}=\sqrt{2*3}=\sqrt{6}\approx 2.449[/tex]
det stemmer for x=2 0g y=3, men jeg må vel bevise at det stemmer for alle tall?
hva med induksjon? du har to variabler da?
plutarco wrote:Akkurat denne er svært lett å bevise. Vi vet at $(x-y)^2\geq 0$, derfor er $x^2+y^2-2xy\geq 0$, og $x^2+y^2+2xy\geq 4xy$, så $(x+y)^2\geq 4xy$. Tar rota og får $x+y\geq 2\sqrt{xy}$.Gjest wrote:En liten digresjon ;
Jeg har alltid lurt på hvordan man viser at en ulikhet stemmer? I vgs har vi bare lært hvordan vi løser en ulikhet, men ikke bevise at den stemmer.
f.eks,
[tex]\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}[/tex]
Jeg skjekker for et random tall x=2 og y=3
[tex]\frac{2+3}{2}=2.5[/tex]
[tex]\sqrt{xy}=\sqrt{2*3}=\sqrt{6}\approx 2.449[/tex]
det stemmer for x=2 0g y=3, men jeg må vel bevise at det stemmer for alle tall?
hva med induksjon? du har to variabler da?
plutarco wrote:Kvadrater er alltid ikkenegative
Ulikheten over gjelder selvsagt kun for reelle $x,y$.Gjest wrote:plutarco wrote:Kvadrater er alltid ikkenegative
jo, men hva med komplekse tall? [tex]i^2=-1[/tex]