Free modules

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Kake med tau
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 160
Joined: 05/02-2013 14:12
Location: Fetsund

Legg merke til at [tex]a\cdot (x, -y) \in A^2[/tex] egentlig er bare ett element, [tex](x, -y)[/tex], så du trenger kun [tex]a[/tex] i [tex]a\cdot (x, -y)[/tex] for å generere hele [tex]Ker(\phi)[/tex]. Så hvis den kan genereres av kun ett element burde vi få til en isomorfi [tex]\theta : A\rightarrow Ker(\phi)[/tex]. Da må du vise:
  • [tex]\theta[/tex] er surjektiv, altså hvis du har et element i [tex]Ker(\phi)[/tex] så kan du sende den tilbake til en [tex]a\in A[/tex]
  • [tex]Ker(\theta)=0[/tex]
Ser ut som du har greid å vise siste punkt.

Det er skummelt å si at du har en isomorfi mellom [tex]A^2[/tex] og [tex]Ker(\phi)[/tex], for du ser bare på punktene [tex](a, a)[/tex] og dette er ikke hele [tex]A^2[/tex]. Det fungerer bedre med [tex]A[/tex], siden [tex]<(a,a)>\cong A[/tex]
Last edited by Kake med tau on 16/11-2016 22:45, edited 1 time in total.
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Top
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Posts: 141
Joined: 01/10-2014 17:26

Kake med tau wrote: [tex]\phi[/tex] er surjektiv, altså hvis du har et element i [tex]Ker(\phi)[/tex] så kan du sende den tilbake til en [tex]a\in A[/tex]
er det [tex]\theta[/tex] eller [tex]\phi[/tex] som skal vises surjective?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Top
Kake med tau
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 160
Joined: 05/02-2013 14:12
Location: Fetsund

CharlieEppes wrote:
Kake med tau wrote: [tex]\phi[/tex] er surjektiv, altså hvis du har et element i [tex]Ker(\phi)[/tex] så kan du sende den tilbake til en [tex]a\in A[/tex]
er det [tex]\theta[/tex] eller [tex]\phi[/tex] som skal vises surjective?
Beklager, var litt kjapp der! Mener såklart [tex]\theta[/tex]
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Top
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Posts: 141
Joined: 01/10-2014 17:26

så :
[tex]\theta: A \rightarrow ker(\phi)[/tex]
[tex]a \mapsto a(y,-x)[/tex]
og
- [tex]\forall y \in ker(\phi), \exists x \in A, st. \theta(x) = y[/tex] som er lett å se
- [tex]ker(\theta) = {0}[/tex]
=> [tex]\theta[/tex] er en isomorphism.

usikker på hvordan jeg skal vise surjective, mer presist
evt for (ay,-ax) = a(y,-x)
[tex]a(y,-x) \mapsto a[/tex]
Last edited by CharlieEppes on 16/11-2016 22:54, edited 1 time in total.
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Top
Guest

Merk at i en (kommutativ) ring A er to elementer alltid lineært avhengige, for hvis $a,b\in A$ er $ab-ba=0$ en ikke-triviell avhengighetsrelasjon. Så fri undermoduler av en ring må være generert av høyst ett element. Kan idealet $(x^2,xy)$ genereres av ett element?
Top
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Posts: 141
Joined: 01/10-2014 17:26

Gjest wrote:Merk at i en (kommutativ) ring A er to elementer alltid lineært avhengige, for hvis $a,b\in A$ er $ab-ba=0$ en ikke-triviell avhengighetsrelasjon. Så fri undermoduler av en ring må være generert av høyst ett element. Kan idealet $(x^2,xy)$ genereres av ett element?
Dvs. hvis det er et principal ideal?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Top
Guest

Ja :)
Top
Kake med tau
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 160
Joined: 05/02-2013 14:12
Location: Fetsund

[tex](x^2, xy)=(d)[/tex], så du må ha [tex]fx^2+gxy=d[/tex] så [tex]x \mid d \Rightarrow d=xd'[/tex], setter vi dette inn i den første ligningen får vi: [tex]fx+gy=d'[/tex], dette betyr at både [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] må dele [tex]d'[/tex], så [tex]d=hx^2y[/tex]. Er [tex](x^2, xy)=(x^2y)[/tex]? [tex]f, g, h \in A[/tex]
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Top
Guest

Kake med tau wrote:Er [tex](x^2, xy)=(x^2y)[/tex]? [tex]f, g, h \in A[/tex]
usikker, men vi har vell [tex]x^2 \in (x^2,xy), x^2 \notin (x^2y)[/tex]?
eller tenker jeg litt feil her?
Top
Kake med tau
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 160
Joined: 05/02-2013 14:12
Location: Fetsund

Akkurat, så vi får [tex](x^2, xy)\supset (x^2y)[/tex], og [tex](x^2, xy)\neq (x^2y)[/tex], så idealet kan ikke være prinsipielt
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Top
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Posts: 141
Joined: 01/10-2014 17:26

Da tror jeg at jeg har fått litt mer forståelse av dette, og hva man kan bruke teoremene til :))
bare 7-8 kapitler til nå, så er vi klar for eksamen ^^
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Top
Kake med tau
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 160
Joined: 05/02-2013 14:12
Location: Fetsund

Flott :) Eksamen blir spennende ja, men bare for å fullføre det med [tex]\theta : A\rightarrow Ker(\phi)[/tex] og surjektivitet:
Alle elementene i [tex]Ker(\phi)[/tex] genereres av [tex](y, -x)\in A^2[/tex] (merk at vi ser på elementet som punkter i [tex]A^2[/tex])
Så slike elemeter kan f.eks se slik ut: [tex]x\cdot (y, -x), y\cdot (y, -x), (x^2+y+5)\cdot (y, -x), \dots[/tex]
Hvis vi har et element i [tex]Ker(\phi)[/tex], så er det på formen [tex](fx, -fy)=f\cdot (x, -y) \mid f\in A[/tex], og dette kan vi sende tilbake til [tex]f\in A[/tex], slik at [tex]\theta^{-1}[(fx, -fy)]=f[/tex] så [tex]\theta[/tex] er surjektiv! Du har også vist at [tex]Ker(\theta)=0[/tex] så vi har [tex]A\cong Ker(\phi)[/tex], og [tex]Ker(\phi)[/tex] er en fri A-modul!
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Top
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Posts: 141
Joined: 01/10-2014 17:26

:) den siste var bra forklart!
Du nevnte at du tok faget selv i år(?) Hvor tar du det?
jeg tar det på UiB, litt vittig hvis du er i samme klasse ^^
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Top
Kake med tau
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 160
Joined: 05/02-2013 14:12
Location: Fetsund

Jeg er veldig sikker på at vi er i samme klasse :D Tar også MAT224 ved UiB
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Top
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Posts: 141
Joined: 01/10-2014 17:26

Hahaha, herlig, da vet du jo hva som er pensum og oppgavene jeg poster hele tiden!! :)
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Top
Post Reply

Return to “Høyskole og universitet”