matematikk.net

MatteNoob wrote: b)
[tex]S_6 = \frac{a_0 + a_6}{2} \cdot n \Rightarrow \frac{15 + 16.8}{2} \cdot 7 = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}}[/tex]

Alternativ løsningsmetode:
[tex]\int_{0}^{7}\left(15 + \frac {3}{10}n\right)dx = \left[15n + \frac{3}{20}n^2\right]_{0}^{7} = F(7) - F(0) = \left(15\cdot 7 + \frac{3}{20} \cdot 7^2\right) - 0 = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}} [/tex]

Alternativ løsningsmetode 2:
[tex]\sum_{n = 0}^6\left(15 + \frac{3}{10}\cdot n\right) = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}}[/tex]

Hvorfor integrerer du til 7? Den forstod jeg ikke helt...

Jeg må integrere til 7 fordi det er 7 år mellom 2000 og 2006. Husk at omsetningen i 2006 er sluttført i begynnelsen av 2007

Herlig at du spør meg om saker også, espen!!! Fortsett, det øker selvtilliten min, hahaha

(Og fordi jeg definerte første ledd for [tex]a_0[/tex] selvsagt! :])

espen180 wrote:

MatteNoob wrote: b)
[tex]S_6 = \frac{a_0 + a_6}{2} \cdot n \Rightarrow \frac{15 + 16.8}{2} \cdot 7 = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}}[/tex]

Alternativ løsningsmetode:
[tex]\int_{0}^{7}\left(15 + \frac {3}{10}n\right)dx = \left[15n + \frac{3}{20}n^2\right]_{0}^{7} = F(7) - F(0) = \left(15\cdot 7 + \frac{3}{20} \cdot 7^2\right) - 0 = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}} [/tex]

Alternativ løsningsmetode 2:
[tex]\sum_{n = 0}^6\left(15 + \frac{3}{10}\cdot n\right) = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}}[/tex]

Hvorfor integrerer du til 7? Den forstod jeg ikke helt...

MatteNoob wrote: b)
[tex]S_6 = \frac{a_0 + a_6}{2} \cdot n \Rightarrow \frac{15 + 16.8}{2} \cdot 7 = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}}[/tex]

Feil: Her blir først n kalt 6 og videre blir den kalt 7,og en annen ting,ikke[tex]a_{0}[/tex] men [tex]a_{1}[/tex]for formelen er slik for aritmetiske rekker som denne er lik;

[tex] S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n[/tex]

For aritmetiske rekker går slik ;

[tex]a_{1}+a_{2}......+a_{n}[/tex]

Og da vet vi at ;
[tex]a_{1}=15.000.000[/tex]
[tex]a_{7}=16.800.000[/tex]

Der;
[tex]a_{1}[/tex]=2000året,
[tex]a_{7}[/tex]=2006året.

Wentworth wrote:Her er jo ;
[tex]a_{1}=15.000.000[/tex]
[tex]a_{7}=16.800.000[/tex]

Der;
[tex]a_{1}=[/tex]2000året,
[tex]a_{7}[/tex]=2006året.

Nei, det er de ikke.

MatteNoob wrote:[tex]a_n = 15 + \frac{3}{10}n \,\,\,\,\,\, i\, mill\, kr[/tex]

[tex]a_0 = 15 + \frac{3}{10}\, \cdot\, 0 = 15 \\ \, \\ a_6 = 15 + \frac{3}{10} \, \cdot\, 7 = 16.8[/tex]

Det er 7 "trinn" fra [tex]a_0[/tex] til [tex]a_6[/tex]

Jeg skal ta kritikk på at jeg har skrevet [tex]a_n = 15 + \frac{3}{10}n[/tex] Det burde stått [tex]a_{n-1} = 15 +\frac{3}{10}n[/tex]

Jeg kunne også ha satt denne til

[tex]a_n = 14.7 + \frac{3}{10}n[/tex] eller [tex]a_n = 15 + \frac{3}{10}(n-1)[/tex] Hvilket jeg mener ville vært det beste.

Det er en ting jeg vil spørre om;

Er denne oppgaven skrevet under tema "Aritmetiske rekker" ?

Kapittel 1, avsnitt 1.4 - Summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke, oppgave 1.20 side 22.

espen180 wrote:

MatteNoob wrote: b)
[tex]S_6 = \frac{a_0 + a_6}{2} \cdot n \Rightarrow \frac{15 + 16.8}{2} \cdot 7 = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}}[/tex]

Alternativ løsningsmetode:
[tex]\int_{0}^{7}\left(15 + \frac {3}{10}n\right)dx = \left[15n + \frac{3}{20}n^2\right]_{0}^{7} = F(7) - F(0) = \left(15\cdot 7 + \frac{3}{20} \cdot 7^2\right) - 0 = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}} [/tex]

Alternativ løsningsmetode 2:
[tex]\sum_{n = 0}^6\left(15 + \frac{3}{10}\cdot n\right) = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}}[/tex]

Hvorfor integrerer du til 7? Den forstod jeg ikke helt...

MatteNoob wrote: b)
[tex]S_6 = \frac{a_0 + a_6}{2} \cdot n \Rightarrow \frac{15 + 16.8}{2} \cdot 7 = \underline{\underline{111.3\, mill\, kr}}[/tex]

Wentworth wrote: Feil: Her blir først n kalt 6 og plutselig videre blir den kalt 7,og en annen ting,ikke[tex]a_{0}[/tex] men [tex]a_{1}[/tex]for formelen er slik for aritmetiske rekker som denne er lik;

[tex] S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n[/tex]

For aritmetiske rekker går slik ;

[tex]a_{1}+a_{2}......+a_{n}[/tex]

Og da vet vi at ;
[tex]a_{1}=15.000.000[/tex]
[tex]a_{7}=16.800.000[/tex]

Der;
[tex]a_{1}[/tex]=2000året,
[tex]a_{7}[/tex]=2006året.

Wentworth wrote:Her er jo ;
[tex]a_{1}=15.000.000[/tex]
[tex]a_{7}=16.800.000[/tex]

Der;
[tex]a_{1}=[/tex]2000året,
[tex]a_{7}[/tex]=2006året.

MatteNoob wrote: Nei, det er de ikke.

Jo, det er dem!
Et ledd [tex]a_{i}[/tex] i et aritmetisk rekke med differansen d gitt ved ;

[tex]a{i}=a_{i} + (i-1) \cdot d[/tex]

Her er;

[tex]d= 300.000[/tex]

Da er;

[tex]a_{i}=15.000.000 + (i-1) \cdot 300.000=300.000i+14.700.000[/tex]

Altså er et ledd i denne aritmetiske rekken gitt ved ;

[tex]300.000i +14.700.000[/tex]

Setter inn for ledd nr. for å finne leddet eks;

Vi prøver å finne [tex]a_{6}[/tex] ved bruk av denne formelen da er ledd 6 ;

[tex]300.000 \cdot 6 +14.700.000[/tex]

Vi finner ledd nr 7;

[tex]300.000 \cdot 7 + 14.700.000=16.800.000[/tex]

Sånn finner du alle leddene.

Og summen av leddene er gitt ved som sagt ;

[tex]S_{n}=n \cdot \frac{a_{1}+a_{n}}{2}[/tex]

Jeg setter inn verdiene for [tex]a_{1}[/tex] og [tex]a_{n}[/tex] for å bevise at svaret på summen er riktig;

Vi vet at n er lik 7 og da vet vi at summen er gitt ved ;

[tex]S_{7}=7 \cdot \frac{a_{1}+a_{7}}{2}[/tex]

[tex]S_{7}= 7 \cdot \frac{15.000.000+16.800.000}{2}=111.300.000[/tex]

Dermed hvis vi skal finne summen ved hjelp av integral så forteller jo denne aritmetiske rekken at det er 7 ledd, for vi teller med [tex]a_{1}[/tex] som er [tex]x=0[/tex](her vokser ikke grafen for den er lik null( bedriften sitter med 15.000.000 kroner) og her er dessuten minsteverdien til det første rektangelet ligger. Minste verdien til [tex]a_{7}[/tex]ligger der [tex]x=6[/tex](bedriften sitter med 111.000.000 kr).

Hvis vi da setter 0 som nedre og 7 som øvre integrasjonsgrense vil ikke vi få et bedre resultat enn ved bruk av formelen for sum for aritmetiske rekker. Det er fordi vi ved bruk av integral får vi et samlet resultat som er på 112.350.000 (dette kan sjekkes ved å finne integralet av [tex]15.000.000 + 300.000X[/tex]. For så legge inn den øvre 7 og den nedre integrasjons grensen 0. Jeg håper du er enig nå . Og håper det ar en god nok forklaring til Epsen også

Oppgave 1.25 wrote:a) Forklar at partall nummer n, er [tex]a_n = 2n[/tex]

b) Vis at summen av de n første partallene er: [tex]S_n = n + n^2[/tex]

c) Hvor mange partall må vi ha for at summen skal bli minst 600?

a)
Alle partall er delelig med 2, følgelig blir alle tall muliplisert med 2 et partall.

b)
Vi har: (Tusen takk, espen180)
[tex]a_n = 2n \,\,\, og \,\,\, a_1 = 2 \\ \, \\ S_{n_2} = \frac{(a_1 + a_n)\cdot a_n}{2} \Rightarrow \frac{\cancel 2(1 + n)n}{\cancel 2} = \underline{\underline{n + n^2}}[/tex]

c)
[tex]n + n^2 \geq 600 \\ \, \\ n+n^2 - 600 \geq 0 \\ \, \\ \underline{\underline{n=25}} \,\,\, \vee \,\,\, n = -24 \,\,\,\,\,\, n>0[/tex]

Oppgave 1.26 wrote:Undersøk om rekka er geometrisk

a) [tex]5000 + 6000 + 7200 + 8640 + \ldots[/tex]

b) [tex]5000 + 1000 + 200 + 40 + \ldots[/tex]

c) [tex]5000 + 11000 + 24200 + 55660 + \ldots[/tex]

d) [tex]4000 + 1000 + 400 + 100 + \ldots[/tex]

e) [tex]5000 - 1000 + 200 - 40 + \ldots[/tex]

Hvis [tex]\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_4}{a_3}[/tex] så er rekka geometrisk fordi vi har en felles kvotient, k, i leddene.

a)
[tex]\frac{6000}{5000} = \frac 65 \\ \, \\ \frac{8640}{7200} = \frac 65[/tex]

Rekka er geometrisk.

b)
[tex]\frac{1000}{5000} = \frac 15 \\ \, \\ \frac{40}{200} = \frac 15[/tex]

Rekka er geometrisk, de fire leddene har felles kvotient.

Og så videre. Jeg ser ikke poenget med å løse flere av disse, da metodikken er rimelig tydelig her.

Oppgave 1.28 wrote:Bestem kvotienten i en geometrisk rekke der

a) [tex]a_1 = 500 \,\, og\,\, a_2 = 500 \cdot 1.09[/tex]

b) [tex]a_3 = 500 \,\, og \,\, a_4 = 850[/tex]

c) [tex]a_1 = 500 \,\, og \,\, a_3 = 594[/tex]

d) [tex]a_8 = 18000 \,\, og\,\, a_{10} = 11520[/tex]

a)
Den generelle formelen for geometriske rekker er [tex]a_n = a_1 \cdot k^{n-1}[/tex] der k er en konstant (kvotienten).

Vi kan dermed sette (fordi vi vet at rekka er geometrisk)

[tex]k = \frac{500 \cdot 1.09}{500} = \underline{\underline{1.09}}[/tex]

b)
[tex]\frac{850}{500} = \underline{\underline{\frac{17}{10} \Leftrightarrow 1.7}}[/tex]

c)
[tex]a_3 = a_1 \cdot k^{n-1} \Rightarrow 594 = 500 \cdot k^{3-1} \\ \, \\ \Updownarrow \\ \, \\ k^2 = \frac{594}{500} \\ \, \\ k = \sqrt{\frac{594}{500}} \\ \, \\ \underline{\underline{ k = \sqrt{\frac{297}{250}}}}[/tex]

d)
[tex]a_8 = 18000 \,\, og\,\, a_{10} = 11520 \\ \, \\ \text{Vi har at:} \\ \, \\ \begin{tabular}{l|c|r} a_1 \cdot k^{8-1} = 18000 & \wedge & a_1\cdot k^{10-1} = 11520 \\ a_1 = \frac{18000}{k^7} & \rightarrow & \frac{18000}{k^7}\cdot k^{9} = 11520 \\ \, & \, & k^{2} = \frac{11520}{18000} \\ \, & \, & k = \sqrt{0.64} \\ a_1 = \frac{18000}{0.8} & \leftarrow & \underline{\underline{k = 0.8 }} \\ \underline{a_1 = 22500} \end{tabular}[/tex]

Oppgave 1.31 wrote:Regn ut følgende summer:

a) [tex]500\cdot 1.05 + 500\cdot 1.05^2 + \ldots 500\cdot 1.05^{10}[/tex]

b) [tex]1 + \frac 12 + \frac 14 + \frac {1}{16}[/tex]

c) [tex]1+3+9+27 + \ldots 729[/tex]

d) [tex]1-3 + 9-27 + \ldots +729[/tex]

Jeg minner om at summen for ei geomerisk rekke, er gitt ved:

[tex]S_n = \frac{a_1(k^n -1)}{k-1} \,\,\, eller \,\,\, S_n = \frac{a_1(1-k^n)}{1-k}[/tex]

a)
[tex]S_{10} = \frac{525(1.05^{10} - 1)}{1.05-1} \approx \underline{\underline{6603.4}}[/tex]

b)
[tex]1+\frac 12 + \frac 14 + \frac{1}{16} = \frac{16+8+4+1}{16} = \underline{\underline{\frac{29}{16}}}[/tex]

c)
Oddetallsrekka er gitt ved:

[tex]a_n = 3^{n-1}[/tex]

Er rekken geometrisk?

[tex]\frac 31 = 3 \,\,\, og \,\,\, \frac 93 = 3[/tex]

[tex]3^{n-1} = 729 \\ \, \\ (n-1)log 3 = log 729 \\ \, \\ n = \frac{log 729}{log 3} + 1 \\ \, \\ \underline{n= 7} \\ \, \\ \, \\ S_{7} = \frac{1 \cdot (3^{7} - 1)}{3-1} = \underline{\underline{1093}}[/tex]

d)
[tex]a_n = (-3)^{n-1}[/tex]

Samme fremgangsmåte som ovenfor. Det gir oss:

[tex]S_7 = \frac{\left((-3)^7 - 1\right)}{-3 - 1} = \underline{\underline{547}}[/tex]

Oppgave 1.32 wrote:Et sagn forteller at sjahen av Persia lovet en man 1 såkorn for den første ruta på sjakkbrettet, 2 såkorn for den andre ruta, 4 for en tredje, 8 for den fjerde, og så videre.

a) Regn ut det totale antallet såkorn, når det er 64 ruter på sjakkbrettet.

b) Hvor mange tonn ville kornet veie, hvis 10 korn veier 1 gram?

a)
Vi har en tallfølge med 64 ledd. De første tallene følgen er:
[tex]1,\, 2,\, 4,\, 8,\, \ldots[/tex]

Vi ser at: [tex]\frac 21 = 2\,\, og\,\, \frac 84 = 2[/tex]. Dermed konstaterer vi at [tex]k = 2[/tex]

Det gir oss:
[tex]a_n = 2^{n-1}[/tex]

Vi regner ut antall såkorn:
[tex]S_{64} = (2^{64}-1) \approx \underline{\underline{1.845 \cdot 10^{19}}}[/tex]

Vi bruker trenger ikke bruke [tex]\frac{a_1(k^n -1)}{k-1}[/tex] fordi [tex]k = 2[/tex].

b)
I ett tonn, er det 1 000 000 gram.
10 korn veier 1 gram.

[tex]\frac{1.845 \cdot 10^{19}}{10\cdot 1 000 000} = \frac{1.845\cdot 10^{19}}{10^{7}} = 1.845 \cdot 10^{19-7} = \underline{\underline{1.845 \cdot 10^{12}\, tonn}}[/tex]

Oppgave 1.33 wrote:Et firma hadde en årsomsetning på 12 mill. kr i 2000. Firmaets ledelse regner med å øke årsomsetningen med ca 10% per år frem til 2008.

a) Finn firmaets omsetning i 2001, 2003 og 2008.

b) Regn ut den samlede omsetningen i årene 2000-2008 dersom prognosen blir oppfylt.

a)
[tex]k = (1+\frac{10}{100}) = 1.10[/tex]
[tex]a_1 = 12[/tex]

[tex]a_n = 12 \cdot 1.10^{n-1}[/tex]

[tex]2001: a_2 = 12 \cdot 1.10 = \underline{\underline{13.2\, mill.\, kr}}[/tex]
[tex]2002: a_3 = 12 \cdot 1.10^2 = \underline{\underline{14.52\, mill.\, kr}}[/tex]
[tex]2008: a_9 = 12 \cdot 1.10^8 \approx \underline{\underline{25.72\, mill.\, kr}}[/tex]

b)
[tex]S_9 = \frac{a_1(k^{n} - 1)}{k-1} \Rightarrow \frac{12(1.10^{9}-1)}{1.10 - 1} \approx \underline{\underline{162.95\, mill.\, kr}}[/tex]

Oppgave 1.35 wrote:En pasient skal øke mengden av en medisin gradvis i løpet av 20 dager. Dosen skal økes fra 5 enheter den første dagen, til 30 enheter den 20 dagen. Den prosentvise økningen fra dag til dag skal være den samme.

a) Vis at dosen må økes med 9.9% per dag.

b) Hvor mye medisin tar pasienten iløpet av de 20 dagene?

a)

[tex]a_{20} = 30 \\ \, \\ 5\cdot \left(1+ \frac {p}{100}\right)^{20-1} = 30 \\ \, \\ \sqrt[\cancel {19}]{\left(1+\frac{p}{100}\right)^{\cancel{19}}} = \sqrt[19]{6} \\ \, \\ \frac{p}{\cancel{100}} \cdot \cancel{100} = \left(\sqrt[19]{6} - 1\right)\cdot 100 \\ \, \\ \underline{\underline{p \approx 9.9\percent [/tex]

b)
[tex]S_{20} = \frac{5(1.099^{20} - 1)}{1.099 - 1} \approx \underline{\underline{283\, doser}}[/tex]

Oppgave 1.37 wrote:Et beløp blir satt inn årlig på en konto 10 år på rad. Finn sluttverdien ett år etter at siste beløp er satt inn når

a) Det årlige beløpet er 7000 kr og renten er 5.5%

b) Det årlige beløpet er 12000 kr og renten er 6.0%

c) Det årlige beløpet er 12000 kr og renten er 7.0%

a)
Vi har formelen:
[tex]S_n = \frac{7000\cdot \left(1+\frac{5.5}{100}\right)\cdot \left((1+\frac{5.5}{100})^n -1 \right) }{(1+\frac{5.5}{100}) - 1)} \\ \, \\ \Updownarrow \\ \, \\ S_n = \frac{7000\cdot 1.055\left(1.055^n - 1\right)}{1.055-1}[/tex]

[tex]S_{10} = \frac{7385(1.055^{10} - 1)}{0.055} \approx \underline{\underline{95\, 084\, kr.}}[/tex]

b)
[tex]S_{10} = \frac{12000\cdot 1.06\cdot \left(1.06^{10}-1\right)}{1.06-1} = \frac{12720\cdot \left(1.06^{10} - 1\right)}{0.06} \approx \underline{\underline{167\, 660\, kr}}[/tex]

c)
[tex]S_{10} = \frac{12840\left(1.07^{10} - 1\right)}{0.07} \approx \underline{\underline{177\, 403\, kr}}[/tex]