Page 3 of 3
Re: Rekker
Posted: 01/03-2016 21:44
by Johan Nes
Tror kanskje jeg fant ut av det.
Re: Rekker
Posted: 01/03-2016 23:21
by Gustav
DennisChristensen wrote:plutarco wrote:Johan Nes wrote:Uff. Føler jeg stiller mange spørsmål nå, men har ikke løsningsforslag, så da blir det slik dessverre.
Euler-taller er lik [tex]\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}[/tex]
Vis at e < 3.
Hvordan?
Denne er litt mer tricky. Prøv å vis med induksjon at for N>1 så gjelder
[tex]\sum_{n=0}^{N }\frac{1}{n!}<3-\frac{1}{N!}[/tex]
Da kan du deretter ta grensen når $N\to\infty $
Dette vil kun vise at $e \leq 3$.
Godt poeng!
Vi kan evt. modifisere denne litt og vise ved induksjon at [tex]\sum_{n=0}^{N }\frac{1}{n!}<2.9-\frac{1}{N!}[/tex] for $N\geq 3$.
Re: Rekker
Posted: 01/03-2016 23:30
by Nebuchadnezzar
$ \hspace{1cm}
e
= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}
= 2 + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!}
= 2 + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1}
< 2 + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}
= 3
$
Re: Rekker
Posted: 02/03-2016 00:21
by DennisChristensen
Johan Nes wrote:Hjertelig takk, både til Plutarco og Dennis!
Får ikke sett skikkelig på det før i morgen.
De siste to timene (jepp) har jeg strevet med følgende oppgave:
Finn summen av teleskoprekken [tex]\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n^3-n}[/tex]
Det jeg har gjort er å faktorisere uttrykket og så delbrøkspalte det slik:
[tex]\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{n(n^2-1)}=\frac{1}{n(n+1)(n-1)}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n-1)}[/tex]
Har så forsøkt å skrive ut noen ledd av dette, men det blir bare rot.
En teleskoprekke skal vel uansett ikke ha denne formen, men to ledd i formelen, så jeg forsøkte å slå sammen formelen over til dette:
[tex]\frac{2-n}{2n(n-1)}+\frac{1}{2(n+1)}[/tex]
Skrev ut noen ledd her også, men det ser ikke ut til å være noe mønster her.
Noen ideer? Med tanke på oppgaveteksten og at fasit sier 1/4, så antar jeg i hvert fall at det faktisk er en teleskoprekke.
Har gjort 5-6 teleskopoppgaver før dette og følte jeg forstod prinsippet (har fått til alle forut), men her er jeg helt lost. Regner med løsningen er å skrive uttrykket på en annerledes måte som gir den rette strukturen. Men hvordan? Beats me.
$\begin{align*} \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^3 - n} & = \sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n-1)} - \frac{1}{n}\right) \\
& = \sum_{n=2}^{N}\Bigg[\left(\frac{1}{2(n-1)} - \frac{1}{2n}\right) - \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{2(n+1)}\right)\Bigg] \\
& = \frac{1}{2}\Bigg[\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) - \sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\Bigg] \\
& = \frac{1}{2}\Bigg[1 - \frac{1}{N} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{N+1}\right)\Bigg] \\
& \rightarrow \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2}\right) \\
& = \frac{1}{4} \text{ når }N \rightarrow \infty.\end{align*}$