matematikk.net

Svaret er \(\frac{2027-3}{4}+1=507\). Åpenbart må hver farge ha minst \(3\) punkter.
Definer \(m(X)\) og \(M(X)\) som den det nærmeste og punktet som er lengst unna \(X\).
Påstand: maks 1 farge kan ha kun 3 punkter.
Anta vi har trekant \(ABC\) hvor WLOG \(BC<AB<AC\). Da vet vi at \(m(B)=C\), \(m(C)=B\), \(m(A)=B\) og \(M(B)=A\), \(M(C)=A\), \(M(A)=C\), siden ellers så ville denne fargen hatt flere enn \(3\) punkter Anta nå at vi har en annen farge med bare \(3\) punkter, og tilsvarende trekant \(DEF\).
Hvis \(EF<DE<DF\), får vi de samme relasjonene som i trekant \(ABC\). Mer spesifikt har vi \(M(B)=A\) og \(m(D)=E\) som gir \[AB>DB>DE\]Men på lik måte har vi at \(DE>AB\), en motstigelse, så påstanden er bevist.
Dermed får vi at det er maks \(1\) farge med kun \(3\) punkter, så resten av fargene må inneholde minst \(4\) punkter. Dermed får vi at antall farger er maks \(507\).

For konstruksjon, se Essensielt ser vi at vi starter med en trekant, så finner vi det området hvor alle de andre punktene må ligge (Markert svart på bildet\). Deretter kan man bare lage mange firkanter som har \(2\) veldig korte sider og \(2\) lange sider. Diagrammet er ikke direkte riktig, men man kan fikse ved legge alle punktene nesten på en sirkel, slik at punkter som nesten er diameter parres sammen.

Let $k$ be a positive integer. lfe has a dictionary $\mathbb{D}$ consisting of some $k$-letter strings containing only the letters $A$ and $B$. lfe would like to write either the letter $A$ or the letter $B$ in each cell of a $k \times k$ grid so that each column contains a string from $\mathbb{D}$ when read from top-to-bottom and each row contains a string from $\mathbb{D}$ when read from left-to-right.
Unfortunately, lfe is quite stupid and lazy, so you have to help him with the following: What is the smallest integer $m$ such that if $\mathbb{D}$ contains at least $m$ different strings, then lfe can fill his grid in this manner, no matter what strings are in $\mathbb{D}$?