Derivasjon av et produkt

[Wentworth]

Nå skjønte jeg det.

Det er kun to måter å leve et liv på; den ene er å tro at ingenting er mirakel og den andre måten er å tro at alt er mirakel .

[daofeishi]

Greit, kan du da derivere disse uttrykkene?:

[tex]f(x) = x^3 \cdot \sqrt x \\ f(x) = x^2\cdot x^{\frac 1 3} \\ f(x) = x^2 \cdot x^{\frac 1 4} \cdot \sqrt x \\ f(x) = x^4 \cdot x^{\pi ^2}[/tex]

[Markonan]

1.[tex](x^{\frac{3}{2}})^\prime=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}[/tex]

Disse to har ikke like beregningsmåte

2."*[tex](x^{\frac{5}{2}})^{\tiny\prime} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}x\cdot x^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}[/tex]" Denne her utvider seg med gangingen for å komme fram til svaret,hvis jeg hadde utvidet den første med gangingen også, hadde jeg fått et annet svar. Så hva er det som egentlig skjer her?

De har nøyaktig lik beregningsmåte. Nemlig:
[tex](x^n)^{\tiny\prime} = n\cdot x^{n - 1}[/tex]

[tex](x^{\frac{5}{2}})^{\tiny\prime} = \frac{5}{2}\cdot x^{\frac{5}{2} - 1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}[/tex]

Og et viktig punkt:
[tex]\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}\quad=\quad\frac{5}{2}x\sqrt{x}[/tex]

De er helt like (og det har jeg vist før)! Det er bare to forskjellige måter å skrive det samme svaret på. Vi brukte bare den siste måten fordi det var den formen som ble gitt i oppgaven.

[Wentworth]

[tex]f`=x^3 \cdot \sqrt {x}=\frac{8x^6 \sqrt{x}^2}{2}[/tex]

[Wentworth]

Har svart for dette temaet Markonan.



Prøv på de nye uttrykkene daofeishi kom med så ser vi at begge to har like svar

[Markonan]

[tex]f`=x^3 \cdot \sqrt {x}=\frac{8x^6 \sqrt{x}^2}{2}[/tex]

Dette er nok ikke helt riktig. Vis hele utregningen din, så skal jeg finne feilen.

[Wentworth]

Få se hva du fikk da først

[Markonan]

Hmmm, nei, da blir oppgaven alt for lett. Da styrer du deg bare inn på svaret. Mye bedre trening å finne det selv!

[Wentworth]

[tex]f`=x^3 \cdot \sqrt {x}={\frac{3x^2\sqrt{x} \cdot 3x^2 \sqrt{x} \cdot3x^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac {27x^6\sqrt{x}^3}{2\sqrt{x}}=\frac{27x^6 \sqrt{x}^2}{2}[/tex]

[Markonan]

Ok, du bruker produktregelen, ikke sant? Du har ikke brukt den helt riktig.
Den er nemlig:
[tex](a\cdot b)^{\tiny\prime} = a^{\tiny\prime}\cdot b + a\cdot b^{\tiny\prime}[/tex]

Bruk denne formelen med [tex]a = x^3[/tex] og [tex]b = \sqrt{x}[/tex]

[Wentworth]

Etter å ha brukt produktregelen får jeg [tex]3x^2\sqrt{x}+\frac{x^3}{2\sqrt{x}[/tex]

[Markonan]

Husk at
[tex](x^3)^{\tiny\prime} = 3x^2[/tex]

Ellers var det helt korrekt, men du kan fortsatt trekke sammen x'ene og fullføre addisjonen!

[Wentworth]

Da får jeg [tex]\frac{27x^6\sqrt{x}^2}{2}[/tex]

[Markonan]

Nei, det er ikke riktig. Klarer ikke å se hvordan du kom frem til det svaret heller. Du skal få et lite hint av meg, angående det andre uttrykket.

[tex]\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}[/tex]

Også er det kanskje litt lettere å sammenligne med formelen om du ser at:
[tex]\frac{x^3}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{\sqrt{x}}[/tex]

[Wentworth]

Jeg fikk [tex]3x^2\sqrt{x}^2[/tex] Hva fikk du?