Integralkalenderen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Noen som har I[sub]16[/sub] på lager?
[tex]I_{\small 17}=\large\int \frac{\large x e^x}{\large(x+1)^2}\,dx[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Skal vi se:
[tex]I_{17} = \int\frac{xe^x}{(x+1)^2}\rm{d}x[/tex]
Delvis integrasjon:
[tex]v = xe^x \ , \ v^, = e^{x}(1+x)[/tex]
[tex]u^, = \frac{1}{(x+1)^2} \ , \ u = -\frac{1}{1+x}[/tex]
[tex]I_{17} = -\frac{xe^x}{1+x} + \int \frac{e^x\cancel{(1+x)}}{\cancel{(1+x)}}\rm{d}x[/tex]
[tex]I_{17} = -\frac{xe^x}{1+x} + \frac{e^x(1+x)}{1+x} = \underline{\underline{\frac{e^x}{x+1} + C}}[/tex]
[tex]I_{17} = \int\frac{xe^x}{(x+1)^2}\rm{d}x[/tex]
Delvis integrasjon:
[tex]v = xe^x \ , \ v^, = e^{x}(1+x)[/tex]
[tex]u^, = \frac{1}{(x+1)^2} \ , \ u = -\frac{1}{1+x}[/tex]
[tex]I_{17} = -\frac{xe^x}{1+x} + \int \frac{e^x\cancel{(1+x)}}{\cancel{(1+x)}}\rm{d}x[/tex]
[tex]I_{17} = -\frac{xe^x}{1+x} + \frac{e^x(1+x)}{1+x} = \underline{\underline{\frac{e^x}{x+1} + C}}[/tex]
Hmm. Ingen I[sub]18[/sub]? Legger ut for 18. og 19. jeg da.
[tex]I_{18}=\int \arcsin\left( \sqrt{x} \right) \rm{d}x[/tex]
[tex]I_{19}=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}\rm{d}x[/tex]
[tex]I_{18}=\int \arcsin\left( \sqrt{x} \right) \rm{d}x[/tex]
[tex]I_{19}=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}\rm{d}x[/tex]
Joda. Tar du 18. også?
[tex]I_{18} = \int \arcsin(\sqrt{x})\mathrm{d}x[/tex]
bruker substutisjon med [tex]u=\arcsin(\sqrt{x})[/tex]
[tex]\mathrm{d}x=\sin(2u)\mathrm{d}u[/tex]
[tex]I_{18}=\int u\sin(2u)\mathrm{d}u = -\frac{1}{2}u \cos(2u) + \frac{1}{2}\int \cos(2u) du = -\frac{1}{2}u\cos(2u)+\frac{1}{4}\sin(2u)+C[/tex]
Bruk formlene for cosinus og sinus av dobbel vinkel samt det faktum at [tex]cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}[/tex], og du får noe smårotete greier.
bruker substutisjon med [tex]u=\arcsin(\sqrt{x})[/tex]
[tex]\mathrm{d}x=\sin(2u)\mathrm{d}u[/tex]
[tex]I_{18}=\int u\sin(2u)\mathrm{d}u = -\frac{1}{2}u \cos(2u) + \frac{1}{2}\int \cos(2u) du = -\frac{1}{2}u\cos(2u)+\frac{1}{4}\sin(2u)+C[/tex]
Bruk formlene for cosinus og sinus av dobbel vinkel samt det faktum at [tex]cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}[/tex], og du får noe smårotete greier.
[tex]\int_0^3 \frac{\left(x^3(3-x)\right)^{1/4}}{5-x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(17-40^{3/4}\right)[/tex]
En greit integral som også vgs elever kan fixe;
[tex]I\small_{20}=\large\int\frac{1}{\tan(x)+1}\,dx[/tex]
[tex]I\small_{20}=\large\int\frac{1}{\tan(x)+1}\,dx[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
@Janhaa: Kan du gi et hint? Jeg finner ikke noen bra substitusjon.
Rute 21:
Finn volumet av romlegemet avgrenset av flatene [tex]f(x,y)=1+x^2+y^2[/tex] og [tex]g(x,y)=3-x^2-y^2[/tex].
Rute 21:
Finn volumet av romlegemet avgrenset av flatene [tex]f(x,y)=1+x^2+y^2[/tex] og [tex]g(x,y)=3-x^2-y^2[/tex].
Rett og slett atespen180 skrev:@Janhaa: Kan du gi et hint? Jeg finner ikke noen bra substitusjon.
[tex]\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/tex]
og manipulering.
---------------------
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Dette er flervariabel analyse, og lenge sia jeg har sysla med.Finn volumet av romlegemet avgrenset av flatene [tex]f(x,y)=1+x^2+y^2[/tex] og [tex]g(x,y)=3-x^2-y^2[/tex].
Altså romlegmene er paraboloider - som kan skrives;
[tex]\text f(r)=1\,+\,r^2\,\,\,\,og\,\,\,\,g(r)=3\,-\,r^2[/tex]
f(r) = g(r)
finner integrasjonsgrensen for r, og theta integreres ett omløp, fra null til 2[symbol:pi] :
[tex] 1\,+\,r^2=3\,-\,r^2 [/tex]
som gir positiv r lik
[tex]\,\,\,r=1[/tex]
------------------------
[tex]V=\int_0^{2\pi}\,\int_0^1\,[(3\,-\,r^2)\,-\,(1+r^2)]\,r\,dr\,d\theta=2\pi\,\int_0^1\,(2-2r^2)\,r\,dr[/tex]
[tex]V=2\pi(1\,-\,{2\over 3})\,=\,{2\over 3}\pi[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
[tex]I = \int \frac{1}{\tan{x}+1} \, dx[/tex]Janhaa skrev:En greit integral som også vgs elever kan fixe;
[tex]I\small_{20}=\large\int\frac{1}{\tan(x)+1}\,dx[/tex]
Setter u = tan x -> x = arctan u:
[tex]I = \int \frac{1}{(1+u)(1+u^2)} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+u}+\frac{1-u}{1+u^2} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+u}+\frac{1}{1+u^2}-\frac{1}{2}\frac{2u}{1+u^2} \, dx[/tex]
[tex]I = \frac{1}{2}[ln(1+u)+\arctan{u}-\frac{1}{2}\ln{(1+u^2)}+C[/tex]
[tex]I = \frac{1}{2}[ln(1+\tan{x})+x-\frac{1}{2}\ln{(1+tan^2(x))}+C[/tex]
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
evt. ved bruk av komplekse tall:
Substitusjon [tex]u=\tan(x)[/tex]:
[tex]\int \frac{1}{(u+1)(u^2 +1)} \,du= \frac{1}{2}\int \frac{1}{u+1}-\frac{1}{2}\,\frac{1+i}{u-i}+\frac{1}{2}\,\frac{i-1}{u+i}\,du= \frac{1}{2}ln(|u+1|)-\frac{1}{4}ln(u^2+1)+\frac{1}{2}arctan(u)+C=\frac{1}{2}ln(|tan(x)+1|)-\frac{1}{4}ln(tan^2(x)+1)+\frac{1}{2}x+C[/tex].
Substitusjon [tex]u=\tan(x)[/tex]:
[tex]\int \frac{1}{(u+1)(u^2 +1)} \,du= \frac{1}{2}\int \frac{1}{u+1}-\frac{1}{2}\,\frac{1+i}{u-i}+\frac{1}{2}\,\frac{i-1}{u+i}\,du= \frac{1}{2}ln(|u+1|)-\frac{1}{4}ln(u^2+1)+\frac{1}{2}arctan(u)+C=\frac{1}{2}ln(|tan(x)+1|)-\frac{1}{4}ln(tan^2(x)+1)+\frac{1}{2}x+C[/tex].
Sist redigert av Gustav den 22/12-2008 18:15, redigert 1 gang totalt.
Ser fint ut d gutta; her er "vgs løsninga"
[tex]I=\int\frac{dx}{1+\tan(x)}=\int\frac{\cos(x)}{\cos(x)+\sin(x)}\,dx={1\over 2}\int \frac{cos(x)+\sin(x)+\cos(x)-\sin(x)}{\sin(x)+\cos(x)}\,dx={1\over 2}x\,+\,{1\over 2}\int \frac{\cos(x)-\sin(x)}{cos(x)+\sin(x)}\,dx[/tex]
[tex]I={1\over 2}\left(x\,+\,\ln|\cos(x)+\sin(x)|\right)\,+\,C[/tex]
[tex]I=\int\frac{dx}{1+\tan(x)}=\int\frac{\cos(x)}{\cos(x)+\sin(x)}\,dx={1\over 2}\int \frac{cos(x)+\sin(x)+\cos(x)-\sin(x)}{\sin(x)+\cos(x)}\,dx={1\over 2}x\,+\,{1\over 2}\int \frac{\cos(x)-\sin(x)}{cos(x)+\sin(x)}\,dx[/tex]
[tex]I={1\over 2}\left(x\,+\,\ln|\cos(x)+\sin(x)|\right)\,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]