matematikk.net

Hei har et problem med en oppgave der man må vite

[tex] \int cos^3 x \quad dx[/tex]

Vet at svaret blir:

[tex] \frac{3sinx}{4} + \frac{sin(3x)}{12}[/tex]
(takket være mathematica , men skjønner ikke hvorfor!)

Kan noen hjelpe meg??

Substitusjon er svaret.

[tex]u = \sin x \ \frac{du}{dx} = \cos x\\ \int \cos ^3 x dx = \int \cos x (1 - \sin ^2 x) dx = \int 1 - u^2 du = \\ u - \frac13 u^3 + C = \sin x - \frac13 \sin ^3 x + C[/tex]

Hva skjedde med cosx ved [symbol:integral] 1-u^2du??

al-Khwarizmi wrote:Hva skjedde med cosx ved [symbol:integral] 1-u^2du??

cos[sup]3[/sup]x = cos(x)cos[sup]2[/sup](x) = cos(x)(1 - sin[sup]2[/sup](x))

osv...

1=cos[sup]2[/sup]x+sin[sup]2[/sup]x
1-sin[sup]2[/sup]x=cos[sup]2[/sup]x

[tex]\int {\cos ^n xdx} = {{\cos ^{n - 1} x\sin x} \over n} + {{n - 1} \over n}\int {\cos ^{n - 2} xdx}[/tex]
Denne formelen kan du også bruke. Krever dog en del omforming etter du har kasta inn n.

al-Khwarizmi skrev:
Hva skjedde med cosx ved ∫ 1-u^2du??

Det forsvinner siden [tex]dx = \frac{du}{\cos x}[/tex]

Takk