Sånn her løste jeg den med vektorer, rett før Janhaa løste den for meg (fordi jeg håpte det ville finnes en bedre metode å gjøre den på
)
Retningsvektor for linja: [tex]\v r = \[1, 2\][/tex]
Så finner vi y gitt ved x av sirkelen (Med litt algebraisk manipulasjon):
[tex]y = 3 \pm sqrt{25 - x^2}[/tex]
Vi sier at punktet P er punktet der linja tangerer sirkelen. Gitt ved x, vil dette punktet være:
[tex]P = (x,\ 3 \pm sqrt{25 - x^2})[/tex]
Sentrum i sirkelen er [tex]S = (0, 3)[/tex],
Da får vi at
[tex]\v{SP} = \[x,\ \pm sqrt{25 - x^2}\][/tex]
Vi vet at [tex]\v{SP}[/tex] står vinkelrett på [tex]\v r[/tex]
Det medfører
[tex]\v{SP} \cdot \v r = 0[/tex]
[tex]\[x,\ \pm sqrt{25 - x^2}\] \cdot \[1, 2\] = 0[/tex]
[tex]x \pm 2 sqrt{25 - x^2} = 0[/tex]
[tex]\pm 2 sqrt{25 - x^2} = - x[/tex]
Kvadrerer begge sider.
[tex]4(25 - x^2) = x^2[/tex]
[tex]x^2 = 20[/tex]
[tex]x = \pm 2 sqrt{5}[/tex]
Så er det å finne y-verdier som passer for dette. Vi får [tex]y = 3 \pm sqrt{5}[/tex]. Så må vi prøve de mulige kombinasjonene for å finne riktig y til riktig x. Det vi får, er:
[tex]P = (\pm 2 sqrt{5},\ 3 \mp sqrt{5})[/tex]
[tex]3 \mp sqrt 5 = \pm 4 sqrt 5 + k[/tex]
[tex]k = 3 \mp sqrt 5 \mp 4sqrt{5}[/tex]
[tex]k = 3 - 5 sqrt 5 \vee k = 3 + 5 sqrt 5[/tex]