Page 1 of 1

Trigonometrisk identitet i et integral

Posted: 01/12-2006 21:38
by Markonan
Heisann. Her er fasitsvaret på en oppgave jeg prøvde å regne (og satte meg dønn fast på :x). Det er to deler jeg ikke helt forstår.

Oppgaven
Løs det bestemte integralet ved å sette x = 2sin u
[tex]\int^2_0 \sqrt{4-x^2}dx[/tex]

Løsning
Vi setter x = 2sin u og får dx = 2cos u du
[tex]\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{4-(2sin u)^2}*2cos u du[/tex]
[tex]\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{4-(2^2sin^2 u)}*2cos u du[/tex]
Ok, hva er det som egentlig skjer nå? Hvordan kommer man fra den forrige til denne:
[tex]\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{4cos^2}*2cos u du[/tex]
[tex]\int^{\frac{\pi}{2}}_0 4cos^2du[/tex]
Og hvordan kommer man fra den forrige til denne??
[tex]2\int^{\frac{\pi}{2}}_0 (cos 2u + 1) du[/tex]
[tex]2[ \frac{sin 2u}{2} + u]^{\frac{\pi}{2}}_0 = 2\frac{\pi}{2} = \pi[/tex]

Det er to, tilsynelatende, to identiteter jeg ikke klarer å se!. Kan noen utdype de to stegene av regnestykket for meg? :)

Re: Trigonometrisk identitet i et integral

Posted: 01/12-2006 22:04
by Janhaa
Markonan wrote:Heisann. Her er fasitsvaret på en oppgave jeg prøvde å regne (og satte meg dønn fast på :x). Det er to deler jeg ikke helt forstår.

Oppgaven
Løs det bestemte integralet ved å sette x = 2sin u
[tex]\int^2_0 \sqrt{4-x^2}dx[/tex]

Løsning
Vi setter x = 2sin u og får dx = 2cos u du
[tex]\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{4-(2sin u)^2}*2cos u du[/tex]
[tex]\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{4-(2^2sin^2 u)}*2cos u du[/tex]
Ok, hva er det som egentlig skjer nå? Hvordan kommer man fra den forrige til denne:
[tex]\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{4cos^2}*2cos u du[/tex]
[tex]\int^{\frac{\pi}{2}}_0 4cos^2du[/tex]
Og hvordan kommer man fra den forrige til denne??
[tex]2\int^{\frac{\pi}{2}}_0 (cos 2u + 1) du[/tex]
[tex]2[ \frac{sin 2u}{2} + u]^{\frac{\pi}{2}}_0 = 2\frac{\pi}{2} = \pi[/tex]

Det er to, tilsynelatende, en identitet jeg ikke klarer å se og en integrasjon jeg ikke skjønner!. Kan noen utdype de to stegene av regnestykket for meg? :)

hvis jeg forstår deg riktig:


1)

4 - 4sin[sup]2[/sup]u = 4(1 - sin[sup]2[/sup]u) = 4cos[sup]2[/sup]u

[symbol:rot] (4cos[sup]2[/sup]u) = 2cos(u)

2cos(u)*2cos(u) = 4cos[sup]2[/sup]u

2)

2cos(u)*2cos(u) = 4cos[sup]2[/sup]u

dessuten er: cos[sup]2[/sup]u = 0.5(1 + cos(2u))

slik at : 4cos[sup]2[/sup]u = 2(1 + cos(2u))

nå har jeg droppa integralene, bare sett på de trigonometriske
identitetene... håper du forstod, og at jeg ikke misforstod.

:)

Posted: 01/12-2006 22:14
by Markonan
Neida, du besvarte på alt jeg lurte på (og enda litt)! :D

Takk skal du ha!