matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med følgende oppgave?

(x^2 + 1) / (x^2 - 4) > 2

Husk at hvis man multipliserer med noe negativt må man snu ulikheten. Dermed blir det:

[tex]\frac{x^2+1}{x^2-4} \ > \ 0 \vspace{30 mm} \\ x^2 + 1 \ > \ 2(x^2-4) \hspace{50 mm} x \ < \ -2 \ , \ 2 \ < \ x \\x^2 + 1 \ < \ 2(x^2 - 4) \hspace{50 mm} -2 \ < \ x \ < \ 2 [/tex]

[tex]\frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} > 2[/tex]

Vi vet at et hvilket som helst reelt uttrykk i andre potens blir positivt. Et positivt tall + 1 er fortsatt et positivt tall, derfor må telleren her [tex]x^2 + 1[/tex] nødvendigvis være positiv. For at hele brøken skal være positiv, må derfor nevneren, [tex]x^2 - 4[/tex], også være positiv:

[tex]x^2 - 4 > 0 \Rightarrow x < -2 \vee x > 2[/tex]

Nå som vi vet at nevner er positiv, kan vi multiplisere med nevneren uten å snu ulikhetstegnet:

[tex]x^2 + 1 > 2(x^2 - 4)[/tex]

[tex]x^2 + 1 > 2x^2 - 8[/tex]

[tex]x^2 < 9[/tex]

[tex]x \in <-3, 3>[/tex]

Altså har vi at likningen stemmer for [tex]x \in <-3, -2> \cup <2, 3>[/tex]

Kan du regne videre?

Fasit er
<-3, -2> U <2,3>

EDIT: Skal se på sEirik sitt svar.

*slett*

Du kan ikke multiplisere med et uttrykk du ikke vet er positivt eller negativt.
Oppgaven må løses med fortegnslinjer.

Først må du flytte over 2:

[tex]\frac{x^2+1}{x^2-4}>2[/tex]

[tex]\frac{x^2+1-(2(x^2-4))}{x^2-4}>0[/tex]

[tex]\frac{9-x^2}{x^2-4}>0[/tex]

[tex]\frac{(3-x)(3+x)}{(x-2)(x+2)}>0[/tex]

Så må du tegne fortegnslinjer for alle faktorene.

Tommy H wrote:Du kan ikke multiplisere med et uttrykk du ikke vet er positivt eller negativt.

Helt riktig.

Men i dette tilfellet kan vi resonnere oss frem til at nevner er positiv, og da kan vi multiplisere med den.

Skrev svaret mitt før jeg så ditt, men jeg er fortsatt ikke helt med på det du gjør.


Tok det nå.

Gitt at du er med på at teller uansett er positiv.

Nevner kan ikke være null, det er åpenbart.

Sett at nevner var negativ. Da ville teller være positiv og nevner være negativ, ergo ville brøken som helhet være negativ. MEN; et negativt tall kan ikke være større enn 2! Nevner kan altså ikke være negativ.

Et reelt tall må som kjent enten være positivt, null eller negativt, og når nevneren verken kan være null eller negativ, så må den nødvendigvis være positiv. Da kan vi multiplisere med den.

Ble det klarere nå?

Tror nok jeg skal bruke fortegnskjema. Når du, Tommy, flytter over to, setter gjør du noe morsomt. Hvorfor det? Trodde at det ble slik jeg:

(x^2 + 1) / (x^2 - 4) > 2

(x^2 + 1) / (x^2 - 4) -2 > 0

Jeg multipliserer 2 med nevneren oppe og nede for å få det på felles nevner.

[/tex]

Det er riktig slik du gjør - flytter over 2 slik at det blir bare -2. Eller eventuelt brøken [tex]\frac{-2}{1}[/tex].

For å lage fortegnsskjema må du ha én brøk på venstresiden, og da må du trekke sammen de to "brøkene" du har nå. Da må du multiplisere med [tex]x^2 - 4[/tex] oppe og nede i "-2"-brøken for å kunne trekke sammen.

Ah, ja selvfølgelig. Jeg er bare på bærtur.

Tusen takk for hjelpen!

Tenkte jeg ikke på i det hele tatt sEirik, men skjønner hva du gjør. Sparer seg for hersens mye arbeid når man slipper å tegne fortegnslinjer, så løsningen til sEirik er jo mye bedre enn min

Teddy wrote:Kan du regne videre?

Fasit er
<-3, -2> U <2,3>

EDIT: Skal se på sEirik sitt svar.

[tex]\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}>0[/tex]

Vi vet jo at en brøk er null når telleren er null, og at den ikke er definert når nevneren er null. Og fasitsvaret som du(Teddy) la ut ser vi jo forran oss i dette uttrykket. Men oppgaven var jo i utgangspunktet å finne ut når uttrykket er større enn 2, og da må du tegne opp et fortegnsskjema å finne, i dette tilfellet, når brøken er større enn 0, siden Tommy H har her valgt å flytte 2-tallet over på venstre side av >.