matematikk.net

Et integral for de interesserte, hva er løsningen?


[tex]I\:=\:\int {dX\over X^3+1}[/tex]

Antar det kan løses ved å observere at [tex]1+x^3=(1+x)(1-x+x^2)[/tex] for deretter å delbrøkoppspalte, men det nok enklere metoder siden du spør.

Litt stilig: [tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^3}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi[/tex]

mrcreosote wrote:Antar det kan løses ved å observere at [tex]1+x^3=(1+x)(1-x+x^2)[/tex] for deretter å delbrøkoppspalte, men det nok enklere metoder siden du spør.

Litt stilig: [tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^3}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi[/tex]

Mulig den kan løses på enklere måte, tviler litt på d (Wolfram ol . er juks).
Var faktisk faktoriseringa med delbrøksoppspalting, som du gjorde, jeg tenkte på.
Men blir forøvrig en formidabel jobb å bestemme dette ubestemte integralet.

Jeg brukte 4 sider og mye delbrøksoppspalting. Oppgava ble gitt på eksamen (innføringskurs i matematikk, MA-100).

For de som har lyst til å prøve seg:


[tex]\int {dx\over 1+x^3}\;=\;[/tex][tex]{1\over 3}ln|x+1|\:-\:{1\over 6}ln|x^2-x+1|\:+\:{1\over sqrt3}arctan({2x-1\over sqrt3})\:+\:C[/tex]


Artig med det siste bestemte integralet, brukte du Maple eller lignende?

Fritt etter FZ: Imaginary numbers exist only in the imagination of The Imaginer...litt kompleks analyse er tingen.

Litt generellere:
[tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\frac{\pi}{n}}[/tex]

mrcreosote wrote:Fritt etter FZ: Imaginary numbers exist only in the imagination of The Imaginer...litt kompleks analyse er tingen.
Litt generellere:
[tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\frac{\pi}{n}}[/tex]

hmmm-se d ja. Lite kompleks analyse for en stakkar med bare 22 vekttall matematikk. Men j burde jo skjønt at denn kan løses vha kompleks analyse

Uten å ha prøvd, tror jeg det bestemte integralet kan løses ganske greit vha residue-teoremet, hvis noen lurer på hvordan det kan gjøres iallefall.

Stemmer det, Cauchy. Ganske mange stilige integraler man kan finne ved hjelp av residueteoremet, til dømes har vi [tex]\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{1+x^2}=\frac{\pi}{e}[/tex]. e som i Eulers tall, ja. Stilig!

mrcreosote wrote:Fritt etter FZ: Imaginary numbers exist only in the imagination of The Imaginer...litt kompleks analyse er tingen.

Litt generellere:
[tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\frac{\pi}{n}}[/tex]

Hvor kan jeg finne et bevis for dette?

Hvilket nivå er du på? Antar utregninger av denne typen inngår i de fleste introkurs til kompleks analyse. Som Cauchy sier er det residueteoremet man bruker, du finner nok litt om det på wikipedia, mathworld eller nærmeste bibliotek.

mrcreosote wrote:Hvilket nivå er du på? Antar utregninger av denne typen inngår i de fleste introkurs til kompleks analyse. Som Cauchy sier er det residueteoremet man bruker, du finner nok litt om det på wikipedia, mathworld eller nærmeste bibliotek.

Går 3MX, men har nylig tatt en eksamen i kompleks analyse på den lokale høyskola. Kan i utgangspunktet residueteoremet, men klarer ikke å se hvordan dette integralet skal løses.

Er det noen som vet hvor man kan finne dette beviset?

Det er vel ikke akkurat noe spesielt teorem det her, så du vil neppe finne et bevis for akkurat dette i noen lærebok med mindre du har flaks.

Såvidt jeg husker er greia å integrere rundt en pizzastykkekontur: Tenk deg en sirkel rundt origo som er delt i n biter. Integrer rundt den biten som ligger like før klokka 3 og la radiusen i sirkelen være større enn 1 for så å vokse. Da lukker du inn nøyaktig 1 nullpunkt, e^(i*pi/n) og kan anvende residueteoremet. Er du med?

Ja, det høres veldig logisk ut. Jeg rotet meg bort i å prøve å faktorisere generelt, men din metode omgår jo denne metoden på en elegant måte!
Jeg skal prøve meg fram for å se om jeg faktisk kan klare det..