===================================
Oppgave 1
===================================
[tex]\int\frac{sin x}{(cos x)^2}dx[/tex]
Vi løser denne med
integrasjon med substitusjon (veldig fin side! Se på 'Solutions').
Vi setter
[tex]u = cos x[/tex]
Vi deriverer:
[tex]\frac{du}{dx} = -sin x[/tex]
Flytter over dx (dette er egentlig betydningsløst, men veldig kjekt).
[tex]du = -sin x dx[/tex]
Deler på - sin x på begge sider for å få dx alene:
[tex]dx = \frac{1}{-sin x}du[/tex]
Nå går vi til oppgaven vi hadde i utgangspunktet.
Vi bytter du u med cos x, og dx med (1/- sin x)du:
[tex]\int\frac{sin x}{(cos x)^2}dx\; =\; \int\frac{sin x}{u^2}\cdot\frac{1}{-sin x}du\; =\;\int-\frac{sin x}{sin x\cdot u^2}du[/tex]
Stryker sin x mot hverandre og står igjen med:
[tex]\int-\frac{1}{u^2}du[/tex]
Dette er lik den antidervierte til -(1/x^2) som er (1/x). Stoler du ikke på meg, kan du derivere (1/x) å sjekke!
[tex]\int-\frac{1}{u^2}du\; =\;\frac{1}{u} + C[/tex]
Og nå som vi har regnet integralet, og siden det er ubestemt, setter vi inn den opprinnelige u verdien igjen, og får svaret:
[tex]\frac{1}{cos x} + C[/tex]
===================================
Oppgave 2
===================================
Tar ikke denne like utfyllende, er også en substitusjonsoppgave, og jeg gjør i prinsippet det samme som over.
[tex]\int sqrt{2x+4}dx[/tex]
u = 2x+4
du = 2dx
(1/2)du= dx
[tex]\int sqrt{u}\cdot \frac{1}{2}du[/tex]
Setter konstanten utenfor, og skriver kvadratroten på en snillere form:
[tex]\frac{1}{2}\int sqrt{u}\cdot du\; = \; \frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du[/tex]
Finner den antideriverte til u. Helt standard antideriverte regler.
[tex]\frac{1}{2}[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}] + C[/tex]
[tex]\frac{1}{3}(2x+4)^{\frac{3}{2}} + C[/tex]
Jeg mener det skal være riktig, men det er jo litt sent nå.
Droppa en del mellomregninger, men prøv å start med cos x = u så kanskje du skjønner hva jeg har gjort.