matematikk.net

Finn alle komplekse tall z=x+iy som oppfyller likningen |z-2i| = |z-3i|.

Løsningsforslaget gir:

"Vi setter inn x+iy for z, og regner ut modulene. Vi får så videre:

x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + y^2 - 6y + 9"



Hvordan kommer de dit?

[tex]|z-2i|=|x+iy-2i|=|x+(y-2)i|=\sqrt{x^2+(y-2)^2}=\sqrt{x^2+y^2-4y+4}[/tex]

og videre på tilsvarende måte:

[tex]|z-3i|=|x+iy-3i|=|x+(y-3)i|=\sqrt{x^2+(y-3)^2}=\sqrt{x^2+y^2-6y+9}[/tex]

Disse rotuttrykkene settes lik hverandre hvoretter man kvadrerer bort rottegnene og ender opp med det som står i løsningsforslaget.

Denne oppgaven løses imidlertid mye enklere geometrisk siden det spørres om alle de z som ligger i samme avstand fra 2i som fra 3i. Det må bli alle z med imaginærdel 5/2.

|z-2i| = |z-3i|, z=x+iy => |x+iy-2i| = |x+iy-3i| <=> |x+(y-2)i| = |x+(y-3)i| Modulusen, lengda til et komplekst tall z=a+ib er av naturlige årsaker definert som |z|=sqrt(a^2+b^2). Derfor er |x+(y-2)i|=sqrt(x^2+(y-2)^2) osv. Når du kvadrerer hver side i ligninga du har fått havner du nettopp der du er.

Se forøvrig her for en geometrisk tolkning av likninga.