matematikk.net

hei

jeg går på nes vgs. og jobber om dagen med pytagoras.
som med all annen matte eller fag generelt er jeg opptatt
av å forstå hvordan ting fungerer helt til bunns. ikke regne ut
eller lese om noe uten å ha fått forståelse for det eller skjønt logikken.

så jeg begynte å tenke på "hvordan regner man ut kvadratroten uten kalkulator?".

ingen av lærerne kunne hjelpe meg fordi at de mente "det går ikke". noe jeg ikke kunne ta for full fisk. kalkulatoren har jo ikke AI akkurat. kvadratroten oppsto jo ikke for litt siden akkurat.

men jeg har nå titta litt rundt og skjønner at det er ingen lett formel, regel eller måte å finne det ut på. virker i hvertfall sånn.

jeg har satt meg som oppgave å finne kvadratroten av 11.
men jeg ser ikke ut til å klare det helt selv med tips fra et annet innlegg her eller wikipedia.

noen som kunne tenke seg å sette opp det stykket for meg hvis de klarer?
ville satt stor pris på det

mvh. martin

Man kan bruke Newtons metode, som ble mye brukt i datamaskiner før. Denne brukes til å finne nullpunktet til en funksjon f(x) = 0

Lar f(x) = x^2-a

Da sier Newton at nullpktet r kan finnes ved følgende iterasjon:
[tex]x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f^\prime (x_i)} \\x_{i+1} = \frac12 (x_i + \frac{a}{x_i})[/tex]

Så er det bare å tippe på en x0 som bør være så nærme roten som mulig. Du vil få dobbelt så mange gyldige siffer for hver gang du gjør utrekningen så etter 4 til 5 ganger har du typisk 10-15 gyldige siffer.

Eks roten av 11:
Tipper på
[tex]x_0 = 3\\x_1 = \frac12 (3 + \frac{11}3) = \frac12 \cdot \frac{20}3 = \frac{10}3 \\ x_2 = \frac12 (\frac{10}3 + \frac{11}{\frac{10}3}) = \frac12 \cdot (\frac{10}3 + \frac{33}{10}) = \frac12 \cdot \frac{100+99}{30} = \frac{199}{60} \\ x_2 ^2 = \(\frac{199}{60}\)^2 = 11,00028[/tex]

Ganske nærme etter bare 2 tippinger. Neste gang vil du ha dobbelt så mange korrekte siffer i svaret ditt.

Du finnes og en litt mer "hoderekningsmåte"
Den baserer seg på at:
[tex](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex]

Eg viser hvordan metoden virker med et eksempel:
Finn kvadratroten av 569

(a+b)^2 = 569

Trinn1:
Man starter med å fjerne 2 og 2 tall fra slutten av tallet helt til man står igjen med 1 eller 2 tall.

Her blir det 5, i 1356 ville det vært 13.
Hva er den minste kvadrattallet mindre enn 5, det er 4 som har 2 som rot.

Derfor er det første tallet i roten av 569: 2

Trinn2
Derfor må: b<10
569 = (20 + b)^2 = 400 + 40b + b^2
169 = 40b + b^2 = b(40+b)

Må nå finne det største heltall b slik at 0<b<10 slik b(40+b) <169.
Ser at b = 5 er over 200, b = 4 gir 176, men b = 3 3*43 = 129

Det gir at det 2 tallet i roten av 569 er 3.
Det gir at de første 2 tallene er: 23

Trinn3
Har nå at b = 3 + c, c = n/10, 0<n<10 som gir:
169 = (3+c)(43+c) = 129 + 46c + c^2
40 = c(46+c)


Husk at nå skal ikke c være et heltall, men den største brøken slik at:
c(46+c) =< 40,

Ganger med 10 og får:
10c(460+10c) = 4000
n(460+n) = 4000

N er heltall mellom 0 og 9 slik at
n(460+n)=<4000

Dette er nesten det samme som i trinn 2 men kan ta eks her:

n = 9 er litt stor men n = 8 gir;
468*8 = 3744 som er passe.

har da 3 gyldige siffer i utrekningen.

[tex]\sqrt{569} = 23,8[/tex]

Ser at metoden blir veldig vanskelig for mer enn de 3 første sifferene, men med litt trening går de 3 første ganske greit.

Blei litt rotete framstilling, du får berre spør hvis det er noko du ikkje skjønner