matematikk.net

Hei har en rekke som jeg skal bestemme om divergerer eller konvergerer.
[symbol:sum] 5/(n+1) rekka går fra 1 til uendelig.

Jeg løste den først med tanke på nth-term test - delte alle ledd på n og fikk svaret lik null, altså konvergerer den.

men jeg tok også å prøvde intergral testen, når jeg brukte den fikk jeg at rekka er divergent. (den går mot uendelig)
Hvordan er det mulig, hvilken av løsningene er riktig, og i så fall hvordan skal jeg vite hvem av testene jeg skal bruke???

Håper dere kan jeg hjelpe meg, blir litt forvirret!!!

Da bør du kikke litt mer på den første testen du gjorde. Du tar det (n+1)te leddet og deler på det nte: [tex]\lim_{n\to\infty}{{n+2}\over{n+1}}=1[/tex]. Derfor sier ikke denne testen noe som helst.

Hvis du har med summer av typen [tex]\sum_{n=0}^{\infty}{P(n)\over Q(n)}[/tex] hvor P og Q er polynomer konvergerer rekka hvis og bare hvis deg(Q)-deg(P)>1. (Dette vises ved sammenligning med den divergente harmoniske rekka og den konvergente rekka hvis ledd er n^-2.)

I ditt tilfelle får du deg(n+1)-deg(5)=1-0=1, så rekka divergerer.

Jeg skjønte ikke helt svaret ditt. Jeg har [symbol:sum] 5/(n+1)
Når jeg bruker nth-term test her skal jeg vel bare dele på n. og gjør jeg det får jeg (5/n)/(1+(1/n), altså o/(1+0) som igjen er null???? og den konvergerer

Kan en rekke være konvergent med en typr test og divergent med en annen test???

Du må huske at sammenlikningstesten/ratiotesten for absolutt konvergens er inkonklusiv dersom grenseverdien u[n+1]/u[n] går mot 1. Dermed kan du ikke bruke denne testen i dette tilfellet. Dersom du finner at én test sier at en rekke er konvergent og en annen test sier at den er divergent, er sjansene veldig store for at du har gjort noe feil en plass

Siden vi vet at [tex]\sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n}[/tex] divergerer, kan vi med stor sikkerhet si at denne rekken divergerer. La oss prøve noen tester:

Test av konvergens/divergens for: [tex]\sum _{n=1} ^\infty \frac{5}{n+1}[/tex]

Omskrivning
Sikkert den enkleste i dette tilfellet.
[tex] \sum _{n=1} ^\infty \frac{5}{n+1} = 5 \sum _{k=2} ^\infty \frac{1}{k}[/tex]
og er dermed helt klart divergent.

Sammenlikningstesten:
[tex]\sum _{n=1} ^\infty \frac{5}{n+1} \ > \ \frac{5}{2} \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n}[/tex]
og er derfor divergent.

Ratiosammenlikningstesten:
Vi sammenlikner med [tex]\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/tex], som vi vet er divergent.
[tex]\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5}{n+1}}{\frac{1}{n}} = 5[/tex]
og rekken er derfor divergent.

Integraltesten:
[tex] \int _1 ^\infty \frac{5}{x+1} dx = 5[\ln (x+1)] _0 ^\infty = \infty[/tex]
og originalrekken er derfor divergent

Takk!!!! det forstod jeg litt mer vettu