matematikk.net

f(x) = e^(2x)
f'(x) = 2*e^(2x)

Jeg stusser litt på hvilke regler som er brukt, og hvorfor det er slik. e^x = e^x ved derivasjon, og e^2 = 2e. Etter min logikk ville e^(2x) = 2e^x derivert, men slik er det tydeligvis ikke. Er usikker på det hele, kan noen forklare hvorfor det er slik, evt hva e^(3x) blir derivert?

Vel. Det er kjent at [tex]e^x[/tex] sin deriverte er [tex]e^x[/tex] (bevis gidder jeg ikke nå..). Når du da skal derivere [tex]e^{2x}[/tex] velger du bare u = 2x. Da får du:

[tex]e^u[/tex]

[tex]\frac {du}{dx} e^u = e^u \cdot \frac {du}{dx} = e^{2x} \cdot 2[/tex]

Kan ikke huske å ha sett den måten å sette det opp på. Regner med at d'en er "derivert", for da gir det jo mening. (u' / x') = 2 / 1, som igjen ser bra ut.
Er det noen slags regel du har brukt her, mener at e^u blir (u' / x')*e^u. Skjønner ikke hvilken regel du har brukt for å få u' / x'.

Er svært takknemlig for hjelp.

Teddy wrote:Kan ikke huske å ha sett den måten å sette det opp på. Regner med at d'en er "derivert", for da gir det jo mening. (u' / x') = 2 / 1, som igjen ser bra ut.
Er det noen slags regel du har brukt her, mener at e^u blir (u' / x')*e^u. Skjønner ikke hvilken regel du har brukt for å få u' / x'.
Er svært takknemlig for hjelp.

u (x) = u = 2x

u ' (x) = u ' = [tex]\;{du\over dx}\;=2[/tex]

der [tex]\;{du\over dx}\;[/tex] er den deriverte av u mhp x, som Magnus skrev.

Dette er bruk av kjerneregelen. Når man deriverer en funksjon (en eller annen), så må også kjernen deriveres.

Vet ikke om du ble klokere nå...

Jeg tror det som er uklart, er at Magnus brukte Leibniz-notasjon. På videregående bruker vi vanligvis Lagrange-notasjon. I hvert fall hos oss.

Skal vise dette veldig steg-for-steg for deg.

Sett at du har [tex]f(x) = e^{kx}[/tex], der k er en konstant (i dette tilfellet 2).

Vi velger kjerne:

[tex]u = kx[/tex]

Vi deriverer kjernen: (en-konstantganger-x-derivert blir som kjent konstanten, f.eks. [tex](2x)^\prime = 2[/tex], [tex](5x)^\prime = 5[/tex]

[tex]u^\prime = k[/tex]

Vi setter inn u i uttrykket, f blir da en funksjon av u.

[tex]f(u) = e^u[/tex]

Denne deriverer vi mhp u:

[tex]f^\prime(u) = e^u[/tex]

Og vi bruker kjerneregelen:

[tex]f^\prime(x) = f^\prime(u) \cdot u^\prime = e^u \cdot k = ke^{kx}[/tex]

Selvfølgelig. Det er «by far» lettere å regne med!

Magnus wrote:Selvfølgelig. Det er «by far» lettere å regne med!

Ja, hvis du vet hva det er så!

Hehe, det hjalp med din måte sEirik. Takk for hjelpen begge to!

Leibniz så faktisk lettere ut å regne med for min del. Jeg vet jo ikke hvordan den brukes så jeg får holde meg til det jeg kan, iallefall på prøven jeg har i overimorgen.

Fant ingenting om Leibniz i Per. Er det noe vits i å lære seg Leibnizs måte å gjøre det på, eller er det mer tungvint enn jeg har inntrykk av?

Den er veldig mye vits i å lære seg. Du kan bl.a. lese om Leibniz og hans notasjon på Wikipedia.