matematikk.net

Skal løse en del oppgaver ved å finne den antideriverte - gikk igjennom det kjapt i timen og nå i etterkant skjønner jeg ikke notatene mine..

eks. finn den antideriverte til f(x)=2x+3
har skrevet ned formelen
f(x) =x[sup]r[/sup]
F(x)= 1/r+1 x[sup]r+1[/sup]

Hvordan bruker jeg den? Hva er r?

Og hva med oppgaver som
f(x)= e[sup]x[/sup]-e[sup]-x[/sup]
og
f(x)= sinx-2cos(2x)

Hva gjør en når en har en andregradslikning en skal antiderivere?
Mange spørsmål det her - men jeg aner ikke hvordan jeg skal løse det...

maja wrote:eks. finn den antideriverte til f(x)=2x+3
har skrevet ned formelen
f(x) =x[sup]r[/sup]
F(x)= 1/r+1 x[sup]r+1[/sup]

Hvordan bruker jeg den? Hva er r?

Her er r er graden til den variable i det leddet du skal antiderivere. r i 2x er 1, r i 3 er 0, siden x[sup]0[/sup] = 1. Så antideriverer du ledd for ledd.

f(x) = 2x + 3

F(x) = 2 * 1/2 * x[sup]2[/sup] + 3* 1/1 * x[sup]1[/sup] = x[sup]2[/sup] + 3x

Når vi antideriverer (ubestemt inegrering) må vi også ta med et konstantledd. Årsaken til det ser du hvis du deriverer tilbake. Derfor bli svaret:
F(x) = x[sup]2[/sup] + 3x + C
der C altså er en konstant.

maja wrote:Og hva med oppgaver som
f(x)= e[sup]x[/sup]-e[sup]-x[/sup]
og
f(x)= sinx-2cos(2x)

Her ser det ut som du kan bruke substitusjon.. har du lært om det?

maja wrote:Hva gjør en når en har en andregradslikning en skal antiderivere?

Mener du andregradsfunksjon? Det bli akkurat likt som i første oppgaven her, bare at r=2 (og 1 og 0 hvis det er førstegrads- og konstantledd med).

Har ikke lært om substitusjon... Kan du gi en liten oppdatering?

maja wrote:Har ikke lært om substitusjon... Kan du gi en liten oppdatering?

Jepp
f(x)= sinx-2cos(2x)
Her har du to ledd som skal integreres. Det første er greit, men på det andre må du bruke en metode som kalles substitusjon. Det vil si at du bytter ut en del av utrykket med en annen variabel (ofte kalt u) og integrerer mhp denne.

f(x)= sinx - 2cos(2x)

[itgl][/itgl] (sinx - 2cos(2x)) dx = [itgl][/itgl] sin(x) dx - [itgl][/itgl] 2cos(2x) dx
= -cos(x) - [itgl][/itgl] 2cos(2x) dx

vi setter u=2x. hvis du deriverer dette får du:
du/dx = 2 som gir dx = du/2

og da blir det siste integralet
[itgl][/itgl] cos(u) du = sin(u) = sin(2x)

Altså har du svaret: -cos(x) - sin(2x) + C

Beklager hvis det er litt dårlig forklart, ble litt sent på kvelden. Bare spør for mer foklaring

Men hva med f(x)=e[sup]x[/sup]-e[sup]-x[/sup]

I tilegg skal jeg finne den deriverte til x e[sup]x[/sup]-1
Ender bare opp med å finne e[sup]x[/sup]=0
og da blir det helt feil når jeg skal finne ekstremalpunkt...

maja wrote:Men hva med f(x)=e[sup]x[/sup]-e[sup]-x[/sup]

Det første leddet skulle være trivielt, så jeg forklarer det siste e[sup]-x[/sup]

Her bruker vi nok en gang substitusjon: u = -x
det gir du/dx = -1
og dx = -du

Setter inn:
[itgl][/itgl]e[sup]-x[/sup]dx = -[itgl][/itgl]e[sup]u[/sup]du = -e[sup]u[/sup] + C = -e[sup]-x[/sup] + C