Page 1 of 1
rektangel innskrives i en sirkel
Posted: 10/01-2007 16:27
by al-Khwarizmi
Noen løsningsforslag til denne oppgaven:
Hva er det største arealet til et rektangel som kan innskrives i en sirkel med radius r ?
Takk på forhånd
Posted: 10/01-2007 16:36
by sEirik
Du skjønner hvis du tenker litt at det beste rektangelet vil være et kvadrat.
Radius i sirkelen er r, da er diameteren 2r. Denne diameteren tilsvarer diagonalen i sirkelen, og når du vet at to kateter er like lange, kan du finne katetene. Da kan du finne arealet.
Posted: 10/01-2007 17:39
by Solar Plexsus
La 2x og 2y være sidene i det innskrevne rektangelet. Pytagoras' setning gir at
[tex](1) \;\; x^2 \:+\: y^2 \;=\; r^2.[/tex]
Ved å innføre polare koordinater, dvs. sette [tex]x = r \, cos \theta[/tex] og [tex]y = r \, \sin \theta[/tex], får vi at arealet A av rektanglet blir
[tex]A \;=\; (2x) \cdot (2y) \;=\; 4xy \;=\; 4r^2 \, \cdot \cos \theta \, \cdot \, \sin \theta \;=\; 2r^2 \, \cdot \, \sin 2\theta.[/tex]
Følgelig blir
[tex]A_{max} \;=\; 2r^2.[/tex]