matematikk.net

Denne klarte verken jeg eller læreren min:

[tex]I = \int (\frac{16}{5 - 3\cos \theta})^2 {\rm d}\theta[/tex]

Oppgaven var å finne arealet av en ellipse i et polarkoordinatsystem gitt ved

[tex]r = \frac{16}{5 - 3\cos \theta}\quad,\quad \theta \in \[0\ ,\ 2\pi\>[/tex]

Da blir arealet halve I fra 0 til 2[symbol:pi] . Matteboka hadde klart å finne svaret nøyaktig, så det skal jo på et vis være mulig å finne det. Jeg spurte vår kjære integral-nettside om hjelp, og den kom opp med et ganske stygt uttrykk som vitnet om at dette er et integral jeg ikke får til uten mer avanserte teknikker enn delvis og variabelskifte.

Tips?

Du kan bruke noko som heter [tex]\tan \frac{\theta}2[/tex] substitusjon.

La:
[tex]x = \tan\frac{\theta}2[/tex]

Da blir: [tex]\cos \theta = \frac{1-x^2}{1+x^2}\\d\theta = \frac{2dx}{1+x^2}[/tex]

Setter dette inn i integralet ditt og får
[tex]\int\(\frac{16}{5-3\frac{1-x^2}{1+x^2}}\)^2 \frac{2dx}{1+x^2}= 2\int\(\frac{16(1+x^2)}{5(1+x^2)-3(1-x^2)}\)^2\frac{dx}{1+x^2} = 2\int\(\frac{256(1+x^2)^2}{8x^2+2}\)\frac{dx}{1+x^2} = 256\int\frac{1+x^2}{4x^2+1}dx[/tex]