matematikk.net

Hei..
Skal bruke teoremet:
La Ax=b være et lineært system. Hvis p er hvilken som helst partikulær løsning av Ax=b og h er en løsning av det korresponderende homogene systemet Ax=0, så er p + h en løsning av Ax=b. Alle løsninger av Ax=b har denne formen p + h, slik at den generelle løsningen er x = p + h, der Ah=0

Til å vise at ingen lineære likningsystemer har nøyaktig 2 løsninger..
Kan noen være så snill og forklare??
På forhånd takk.

Dette følger jo direkte av det faktum at et lineært likningssystem

(1) Ax = b

enten har ingen, nøyaktig en eller uendelig mange løsninger. For å bevise dette teoremet, antar man at likningssystemet (1) har mer enn en løsning. I.o.m. at (1) har løsningen x = p + h, må det tilhørende homogene likningssystemet

(2) Ax = 0

ha mer enn en løsning. M.a.o. finnes det en h [symbol:ikke_lik] 0 slik at Ah = 0. Da vil også x = kh være en løsning av (2) for enhver konstant k. Herav følger at

A(p + kh) = Ap + A(kh) = b + k(Ah) = b + k0 = b + 0 = b.

M.a.o. er x = p + kh også en løsning av (1). Ettersom k er en vilkårlig konstant, har likningssystemet (1) uendelig mange løsninger. q.e.d.