matematikk.net

Ei oppgåve lyder slik:

Me syklar med jamn fart rett fram bortover på ei horisontalt underlag. Eit punkt P på eit av dekka er på bakken ved t=0. Etter t sekund er posisjonen til punktet P gjeven ved

r(vektor)(t) = [3[pi][/pi]t - (1/4)sin(12[pi][/pi]t), (1/4) - (1/4)cos(12[pi][/pi]t)]

Finn hjuldiameteren.

Det fyrste som slo meg var eg eg må derivera r(vektor)(t), for så å setja denne lik null; og at eg så kunne finna y-koordinaten til eit av toppunkta. Eg deriverte slik:

r(vektor)'(t) = [3[pi][/pi] - (1/4)cos(12[pi][/pi]t)12[pi][/pi], (1/4)sin(12[pi][/pi]t)12[pi][/pi]]

v(vektor)(t) = [3[pi][/pi] - 3[pi][/pi]cos(12[pi][/pi]t), 3[pi][/pi]sin(12[pi][/pi]t)]

Men så kjem problemet mitt; korleis kan eg setja ein vektor lik null? Eg må kanskje freista å finna ein funksjon for v uttrykt med t, med dette fekk eg ikkje heilt til. Kan nokon hjelpa meg på veg?

Du får vite at y-komponenten til punktet er gitt ved (1/4) - (1/4)cos(12[pi][/pi]t). Det er denne det er interessant å se på når har sin maksimale verdi, da er punktet på toppen av hjulet.

Du har derivert denne og fått: 3[pi][/pi]sin(12[pi][/pi]t)
Hvis du setter denne lik null er vi enten i det laveste punktet (på bakken) , eller på toppen. Du vet at ved t=0 er du på bakken, derfor er neste t-verdi den må bruke.

3[pi][/pi]sin(12[pi][/pi]t) = 0
sin(12[pi][/pi]t) = 0
12[pi][/pi]t = 0 eller 12[pi][/pi]t = [pi][/pi]
Har argumentert for at det er den andre løsningen vi er interessert i her.
12[pi][/pi]t = [pi][/pi]
t = 1/12

Du har nå funnet ut at etter 1/12 sekund er punktet P i toppen. Hvis du beregner y-koordinaten når t=1/12 finner du diameteren.

Setter inn t=1/12 i (1/4) - (1/4)cos(12[pi][/pi]t)
Du får da 1/2



Det er ikke så vanskelig å observere dette uten noe særlig regning heller.
Hvis høydekomponenten til hjulet er gitt ved (1/4) - (1/4)cos(12πt) vet du at høyden varierer mellom 0 og 1/2, da cos(et eller annet) alltid varierer mellom -1 og 1 periodisk.




Endret: endel trykkfeil.

Takk for svar, klarte oppgåva no. Såg "feila" dine (før endring), men klarte løysa oppgåva likevel. Har du matematikkutdanning, du? Lærar?

Jepp, copy/paste av formlene fra ditt innlegg gikk litt fort der..

Har tatt 2-3mx, og 3-4 rene matematikkfag på høgskole-/universistetsnivå foreløpig (+ mange andre fag der vi anvender matematikken), men er enda student...

Er hvertfall ikke lærer