matematikk.net

I eksamensoppgavene for 3MX i fjor (jf. vdg-forumet) ligger det ei oppgave om gamma-funksjonen.
Oppgaveteksten sier at

[tex]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cdot \cos^n x dx = \frac{\Gamma (\frac{m+1}{2}) \cdot \Gamma (\frac{n+1}{2}) }{2 \cdot \Gamma (\frac{m+n+2}{2})}[/tex]

Det var litt tøft. Vil noen bevise det?

Her slår tanken om et induktivt bevis over flere variable meg.. Men, tror nok ikke jeg er godt nok kjent med gammafunksjonen til at jeg skulle klare det. Kan jo hende man må innom noen ikke-så-fullt-så-pene integraler her;)

Det er ikkje så veldig vanskelig.
Kan få en skisse av et bevis her:
Bruk delvis integrasjon til å vise at:

[tex](1) \int\sin^nx\cos^mxdx = \frac{\sin^{n+1}\cos^{m-1}x}{n+m} +\frac{m-1}{n+m}\int\sin^nx\cos^{m-2}xdx\\(2) \int\sin^nx\cos^mxdx = \frac{\sin^{n-1}\cos^{m+1}x}{n+m} +\frac{n-1}{n+m}\int\sin^{n-2}x\cos^{m}xdx[/tex]

I begge integralene er n [symbol:ikke_lik] -m

Hvis du setter inn grenser i integralet og kombinerer formel (1) og (2) får du følgende formel (Det første leddet etter = blir 0):
[tex]I_n = \int\sin^nx\cos^mxdx\\(3) I_n = \frac{n-1}{n+m}I_{n-2}\\ [/tex]

(3) kan brukes på m og n til å gi følgende kombinert formel:
[tex]I_{n,m} = \int\sin^nx\cos^mxdx\\(4)I_{n,m} = \frac{(n-1)(m-1)}{(n+m)(n+m-2)}I_{n-2,m-2}[/tex]


Så er det å huske at gammafunksjonen er fakultet for heltalls n.
Benytte (4) og (3) helt til man står igjen med en enslig sin eller cos eller sincos.
Sett alt sammen og sjekk de mulige tilfellen at n er odde og n er jevn, så trur eg at man kommer i mål

Jeg kan jo forsette litt til:
Antar at n>m. (Likt for m>n og enda enklere for n=m),

(4) og m odde gir vha induksjon at:
[tex]I_{n,m} = \frac{(n-1)(n-3)....(n-(m-1))(m-1)(m-3)...(m-(m-1))}{(n+m)(n+m-2)...(n+m-2(m+1)}I_{n-(m-1),m-(m-1)}\\ I_{n,m}=\frac{\frac{\Gamma(\frac{n-1}2)}{\Gamma(\frac{n-(m+1)}2)}\Gamma(\frac{m-1}2)}{\frac{\Gamma(\frac{m+n}2)}{\Gamma(\frac{m+n-2(m-1)}2)}}I_{n-m+1,1}[/tex]

Det at vi deler på 2 inne i gammafunksjonene både oppe og nede, gjør at de kan forkortes mot hverandre.

(3) Antar så at n er odde. Dette gir så videre at:

[tex]I_{n-m+1,1} = I_{n-m+1} =\frac{\Gamma(\frac{n-(m+1)}2)}{\Gamma(\frac{n-m+2}2)}I_{1,1}[/tex]

Man kan så sette alt sammen, samt evaluere
[tex]I_{1,0},I_{1,1},I_{0,1},I{0,0}, [/tex] for å finne svaret en generell formel.

Det kan tenkes at det er nokon feil på indeksene i "beviset" mitt siden, eg ikkje kommer til svaret, men eg trur bare det er en "skjønnhetsfeil".