matematikk.net

La C være kurven:

r(t)=[1/3t^3,(1/2 [symbol:rot] 2)t^2,t]

Skal finne krumningen til C i et vilkårlig pukt på C...
Finner v(t)=[t^2,( [symbol:rot] 2)t,1] og
a(t)=[2t, [symbol:rot] 2,0]

Bruker formelen K(t)=(|a(t)*v(t)|)/|v(t)|^3...der *=vektorpoduktet..
men jeg roter det til med absoluttegnene..noen som kan hjelpe??

Det ser ut som du har derivert den andre koordinaten feil på vei til a(t). Absolutt-tegna er ikke så skumle; over brøkstreken er det bare absoluttverdien du tar. |v(t)| = lengden av v(t): |[a,b,c]|=sqrt(a^2+b^2+c^2).

Uten at jeg har peil på hva du snakker om får jeg raskt og gæli [tex]K(t) = \frac{|\frac12 t(4t^2+1)|}{(t^4+\frac12 t^2+1)^{\frac32}}[/tex], du kan jo se om du havner på det samme.

Lærer dere ikke om krumning og slikt i flerdim. på UiO?

Forresten siden det er snakk om krumning, så regna jeg også fort og gæli gjennom oppgava di.

Ettter endel klundring med derivering, determinant etc fikk jeg

[tex]K(t)={|\vec a\, x\, \vec v| \over |\vec v|^3}\;=\;[/tex][tex]sqrt{2}\over (t^2+1)^2[/tex]

stemmer d med fasit - mon tro?

Joda, har vel hatt et kurs i det. På den annen side kan jeg ikke så mye om bibelen sjøl om jeg har hatt kristendom.

Vektorprodukt ja, ikke prikking, så forkast mitt svar og hold deg til Janhaa sitt.

Når vi snakker om kurvatur er det naturlig å ha et par begreper på plass. Vi har en Tangentvektor, som vil være en enhetsvektor med samme retning som hastigheten. Farten som T snur på pr lengdenhet er det samme som kurvaturen til en kurve

[tex]k=\left|{\frac{dT}{ds}}\right|[/tex]

[tex]k=\left|{\frac{dT*dt}{dt*ds}}\right|[/tex]

[tex]k=\left|{\frac{1}{ds\over dt}}\right|*\left|{\frac{dT}{dt}}\right|[/tex]

[tex]k=\left|{\frac{1}{v}}\right|*\left|{\frac{dT}{dt}}\right|[/tex]

Cluet ligger i endringen i tangentvektoren pr lengdeenhet, er den stor vil du følgelig på en stor kurvatur, men har du liten endring vil det være mindre kurvatur eller "krumning" om du vil.

r(t)=[1/3t^3,(1/2 √ 2)t^2,t]

[tex]r(t)={1\over 3}*t^3i+{\sqrt{2}\over 2}t^2j+tk[/tex]

[tex]v(t)=t^2i+\sqrt{2}tj+k[/tex]

[tex]\left|v\right|=\sqrt{(t^2)^2+(\sqrt{2}t)^2+1^2}[/tex]

[tex]\left|v\right|=\sqrt{(t^2+1)^2}=t^2+1[/tex]

[tex]T=\frac{v(t)}{\left|v\right|}[/tex]

osvv.... klokka er mye

Ja, det er flere veier til Rom. Når det gjelder krumning,[tex]\;\kappa(t)\;[/tex]tror jeg den kan uttrykkes på 4, 5 måter, avhengig av formen funksjonen er på:

To måter er nevt over, en med vektorer og den andre med deriverte av enhets-tangentvektor,[tex]\;dT[/tex].

3)
y = f(x) gir krumninga,

[tex]\;\kappa(x)\;={|y^{,,}| \over (1+(y^,)^2)^{3/2}[/tex]


4)
For parametriserte kurver, x = x(t) og y = y(t) gjelder

[tex]\kappa (t)={{|\dot x \cdot \ddot y- \ddot x \cdot \dot y|}\over |\vec v|^3}[/tex]

der[tex]\;|\vec v|^3=(sqrt{\dot x^2+ \dot y^2})^3[/tex]

Nå kan man se på 3) som bare et spesialttilfelle av 4), hvor man har valgt x som parameter.

Dessuten gjelder de formlene kun i 2 dimensjoner. 4) kan derimot generaliseres til 3D:

[tex]\kappa=\frac{|\mathbb{a}\times\mathbb{v}|}{|\mathbb{v}|^3}[/tex]

tror jeg det var.

Janhaa wrote:Forresten siden det er snakk om krumning, så regna jeg også fort og gæli gjennom oppgava di.

Ettter endel klundring med derivering, determinant etc fikk jeg

[tex]K(t)={|\vec a\, x\, \vec v| \over |\vec v|^3}\;=\;[/tex][tex]sqrt{2}\over (t^2+1)^2[/tex]

stemmer d med fasit - mon tro?

Jepp!!! Det stemmer..
Men når jeg finner determinaten:
|axv|=[ [symbol:rot] 2,2t,( [symbol:rot] 2)t^2]..så klarer jeg ikke å regne videre med disse absoluttegnene..noen vise mg?

Du skal jo bare bestemme lengden av vektoren da:

[tex]\sqrt {2 + 4t^2 + 2t^4} = \sqrt {2}\cdot \sqrt{t^4 + 2t^2 + 1} = \sqrt {2}\cdot\sqrt {(t^2 + 1)^2} = \sqrt {2}(t^2 + 1)[/tex]