matematikk.net

Hei, prøver å få til integralet [symbol:integral] [symbol:rot] (1 + x^2) dx, som skal gjøres ved substitusjonen x = sinh u.
Regner litt på dette og ender opp med [symbol:integral] cosh^2 u du.
Regner videre og delvis integrerer to ganger og ender opp med 0.
Kan dette være riktig?

Stemmer at du får cosh² . Dog, svaret ditt skal nok ikke bli 0.
Bruk at: [tex]2\cosh ^2(x) = \cosh (2x) + 1[/tex]

[tex]\int \sqrt{1+x^2} \ {\rm d}x[/tex]
La [tex]x = \sinh (u)[/tex]. Da er [tex]{\rm d}x = \cosh (u) {\rm d}u[/tex]

[tex]\int \sqrt{1+x^2} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \int \cosh^2 (u) \ {\rm d}u \qquad = \qquad \frac{1}{2}\int \cos(2u) + 1 \ {\rm d}u \\ = \frac{1}{4}\sinh (2u) + \frac{1}{2}u + C \qquad = \frac{1}{4}(2\sinh(u)\cosh(u)) + \frac{1}{2}u + C \qquad = \qquad \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(x) + C[/tex]

Som, om du vil, kan skrives:
[tex]\int \sqrt{1+x^2} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C[/tex]

Edit: rettet

Fint det der Christian, men nå har vi ingen brøk på gang!

Merkelig, kunne veddet bestemora mi på at det var det. Velvel, fornøyd?

daofeishi wrote:[tex]\int \sqrt{1+x^2} \ {\rm d}x[/tex]
La [tex]x = \sinh (u)[/tex]. Da er [tex]{\rm d}x = \cosh (u) {\rm d}u[/tex]

[tex]\int \sqrt{1+x^2} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \int \cosh^2 (u) \ {\rm d}u \qquad = \qquad \frac{1}{2}\int \cos(2x) + 1 \\ = \frac{1}{4}\sinh (2u) + \frac{1}{2}u + C \qquad = \frac{1}{4}(2\sinh(u)\cosh(u)) + \frac{1}{2}u + C \qquad = \qquad \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1} + \sinh^{-1}(x) + C[/tex]

Som, om du vil, kan skrives:
[tex]\int \sqrt{1+x^2} \ {\rm d}x \qquad = \qquad \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1} + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C[/tex]

Edit: rettet

Takker så mye! Men Hvor blir det av [tex] \frac{1}{2} [/tex] som står foran u? Altså når du går fra [tex] \frac{1}{2}u [/tex] til [tex] \sinh^{-1}(x) [/tex] ?

Bare en slurvefeil;

[tex]\int sqrt{1+x^2}dx={1\over 2}(x sqrt{1+x^2}+ln(x+sqrt{1+x^2}))+C[/tex]

[tex]\int sqrt{1+x^2}dx={1\over 2}(x sqrt{1+x^2}+arcsinh(x))+C[/tex]

Stemmer, det skal være [tex]\frac{1}{2}\sinh^{-1}(x)[/tex]

Hvordan går dere fra [tex] \frac{1}{4}(2sinh(u)cosh(u)) [/tex] til [tex]\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+1[/tex]

kjell wrote:Hvordan går dere fra [tex] \frac{1}{4}(2sinh(u)cosh(u)) [/tex] til [tex]\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+1[/tex]

[tex]x=sinh(u)\;og[/tex][tex]\;u=arcsinh(x)[/tex]

[tex]cosh(u)=sqrt{1+sinh^2(u)}=sqrt{1+x^2}[/tex]

[tex]{1\over 2}sinh(u)cosh(u)\,=\,{1\over 2}x \sqrt{1+x^2}[/tex]

Janhaa wrote:

kjell wrote:Hvordan går dere fra [tex] \frac{1}{4}(2sinh(u)cosh(u)) [/tex] til [tex]\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}+1[/tex]

[tex]x=sinh(u)\;og[/tex][tex]\;u=arcsinh(x)[/tex]

[tex]cosh(u)=sqrt{1+sinh^2(u)}=sqrt{1+x^2}[/tex]

[tex]{1\over 2}sinh(u)cosh(u)\,=\,{1\over 2}x \sqrt{1+x^2}[/tex]

Tusen takk. Det burde jeg jo egentlig ha sett.