matematikk.net

Sett opp en likning for sylinderflaten parallell med linjen L når den gitte kurven C ligger i sylinderflaten:

C: y=x^2, z=0 L: linjen x=3, y=-5

og:

Sett opp en likning for rotasjonsflaten du får når den gitte kurven C roteres om aksen L

C: y=x^2, z=0 L: z-aksen

Er det noen som har noen tips å komme md her?

Hvis jeg ikke har misforstått, har flata likninga:

[tex]f(x,y,z)=y-x^2[/tex]

[tex]\;fordi\;z=0[/tex]


Linjene x=3 og y=-5 brukes nok som grenser når der integreres. For areal (overflateareal) blir der dobbeltintegral, mens volum involverer trippelintegraler. Husker ikke helt hvordan dette utføres, ett par år sida sist.

Vi sier at to flater står normalt hverandre i et felles punkt P, dersom flatene har tangentplan i P som står normalt på hverandre. Vis at de to flatene: z=(x-1)^2+(y+1)^2 og
z^2=x(x+1)^2+y^2
står normalt på hverandre i punktet (0,-1,1)

Starter med: z=(x-1)^2+(y+1)^2
[symbol:diff] z/ [symbol:diff] x=2(x-1), og det gir [symbol:diff] z/ [symbol:diff] x(0,-1,1)=-2

[symbol:diff] z/ [symbol:diff] y=2(y+1) , og det gir [symbol:diff] z/ [symbol:diff] y(0,-1,1)=0

Finner tangentplanet:
z=1-2(x-0)=1-2x altså 1=2x+z og det gir normalvektor N=[2,0,1]

Men så kommer: z^2=x(x+1)^2+y^2..denne får jg ikke til

maximus_10 wrote:Er det noen som har noen tips å komme md her?

Har ikke noe mer å bidra med her:

[tex]f(x,y)\,=\,y\,-\,x^2\;\;[/tex]er en parabolsk sylinder

maximus_10 wrote:Vi sier at to flater står normalt hverandre i et felles punkt P, dersom flatene har tangentplan i P som står normalt på hverandre. Vis at de to flatene: z=(x-1)^2+(y+1)^2 og
z^2=x(x+1)^2+y^2
står normalt på hverandre i punktet (0,-1,1)
Starter med: z=(x-1)^2+(y+1)^2
[symbol:diff] z/ [symbol:diff] x=2(x-1), og det gir [symbol:diff] z/ [symbol:diff] x(0,-1,1)=-2
[symbol:diff] z/ [symbol:diff] y=2(y+1) , og det gir [symbol:diff] z/ [symbol:diff] y(0,-1,1)=0
Finner tangentplanet:
z=1-2(x-0)=1-2x altså 1=2x+z og det gir normalvektor N=[2,0,1]
Men så kommer: z^2=x(x+1)^2+y^2..denne får jg ikke til

Kaller første flata di Z[sub]1[/sub] , hvis normalvektor (som du selv har regna ut) er [tex]\;\vec N_1=[-2,0,1][/tex]

Finner partiell deriverte av Z[sub]2[/sub] ved først å ta kvadratrota på begge sider og bruke Z > 0:

[tex]Z_2\,=\,sqrt{x(x+1)^2\,+\,y^2}[/tex]

Så de partiell deriverte, hhv x og y:

[tex]{\partial Z_2\over \partial x}\,=\,{(x+1)^2\,+\,2x(x+1)\over 2sqrt{x(x+1)^2\,+\,y^2}[/tex]

[tex]{\partial Z_2\over \partial x}\,(0,-1,1)\,=\,{1\over 2}[/tex]

[tex]{\partial Z_2\over \partial y}\,=\,{2y\over 2sqrt{x(x+1)^2\,+\,y^2}[/tex]

[tex]{\partial Z_2\over \partial y}\,(0,-1,1)\,=\,-{1}[/tex]

Som medfører [tex]\;\vec N_2=[{1\over 2},-1,1][/tex]

Så vet vi at hvis flatene Z[sub]1[/sub] og Z[sub]2[/sub] står normalt på hverandre så er også deres normalvektorer vinkelrette.
Dvs produktet av N[sub]1[/sub] og N[sub]2[/sub] er lik null.

[tex]\vec N_1\cdot \vec N_2\,=\,[-2,0,1]\cdot [{1\over 2},-1, 1]\,=\;{-1+1\,=\,0[/tex]

Dvs flatene står normalt på hverandre i P.