matematikk.net

1)
Hvordan ser ligningen for en sirkel med sentrum i origo ut?

2)
I hvilke tilfeller deriverer man?

3)
I hvilke tilfeller integrerer man?

4)
Når blir integrasjon og derivasjon deler av pensum?

5)
Er det alltid slik at hvis man integrerer konstanten n, så får man nx?

6)
Dersom man har to lineære funksjoner (y=x) og (y=3x^2), hvordan går man frem for å finne arealet av det feltet mellom krysningspunktene (og hva kalles dette feltet)?

7)
Dersom man tenker seg grafen y=x^2 blir dette en slags V-graf. Dersom man flytter den to hakk oppover y-aksen blir formelen y=x^2+2. Hva blir formelen dersom man isteden flytter den to hakk bortover x-aksen?

8)
Hva menes med dx i derivasjonsstykker? (Flaut spørsmål)

9)
Hva er forskjellen mellom y og f(x)? (Legger merke til at f(x)=x^2 ofte brukes på videregående i forhold til y=x^2 som vi bruker på ungdomsskolen.

10)
Tenk grafen (y=x^3). Dersom man på en måte "drar ut" de to svingene, slik at grafen ser ut som en slags N, kan noen gi meg eksempel på en ligning som blir seende slik ut? Eventuelt hvilke typer ligninger som blir slik?

11)
Jeg har en graf (y=x^3). Hva gjør jeg for å finne ut arealet av feltet som blir avgrenset av x=3 og x=4 i bredden, og y=0 og den grafen (y=x^3) i høyden? Og hva kalles dette feltet?


Noen av disse TROR jeg at jeg vet, blant annet begge utregningsoppgavene av areal, men vil gjerne se om jeg har gjort det riktig. Dette er uansett spørsmål jeg har lurt litt på de siste dagene. Bare så dere vet det er disse IKKE lekser, men rett og slett oppgaver jeg gjør for egen interesse. I og med at jeg faglig ligger langt forbi resten av klassen har jeg begynt å arbeide for meg selv med tillatelse fra lærer. Har ingen lærebøker for dette heller. Håper noen kan svare på så mange av disse spørsmålene som mulig

Hilsen 10.-klassing

1) En sirkel sentrert på punktet (a, b) med radius r har likning
[tex](x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2[/tex]
Kan du forklare hvorfor? Du trenger bare å kjenne til den pythagoreiske læresetningen for å svare på dette.

2) Derivasjon symboliserer tangenten til en graf i et gitt punkt på grafen. Dersom du har en funksjon y = f(x), symboliserer dy/dx den øyeblikkelige forandringen i y for en gitt x. Eksempler på bruk: Den deriverte av en fartsfunksjon gir deg akselerasjon. Den deriverte av en funksjon for strekning gir deg fart.

3) Integrasjon blir som oftest sett på som arealet under en kurve, og er det nøyaktige motstykket til derivasjon. dersom den deriverte av a er b, er a integralet av b. Se tilbake på 2) for å se hvordan du eksempelvis kan finne fart fra akselerasjon.

4) Begynnelsen av videregående skole.

5) Den integrerte med hensyn på x av en konstant n er nx + C, der C er et hvilket som helst tall.

6) 3x^2 er ikke en lineær funksjon. Den er en såkalt parabolsk kurve. Dette feltet kan du finne ved integrasjon, og når du har lært integrasjonsreglene skikkelig, ser du akkurat hvordan denne skal løses.

7) (x-2)^2 Kan du forklare hvorfor?

8) dy/dx betyr den deriverte med hensyn på x. (Altså, det forteller at x er variabelen du deriverer med hensyn på.)

9) f(x)=... er bare en ny (og hendigere) notasjon av y=.., Vi sier at f er en funksjon av x.

10) Lek deg litt med generelle 3.-gradsfunksjonen ax^3 + bx^2 + cx + d. Hva finner du ut av?

11) [tex] \int _3 ^4 x^3 \ {\rm d}x = [\frac{x^4}{4}]_3^4 = \frac{4^4-3^4}{4} = \frac{175}{4}[/tex]


Jeg vil anbefale deg å skaffe deg en god bok for videregående skole dersom du vil lære deg derivasjon/integrasjon skikkelig. Begynn først med å forstå derivasjonsregning. Da har du et bedre grunnlag for å skjønne integrasjonregning. Lykke til!

Uff, nå skrev jeg et laaaaangt svar, men det ble sletta grunnet innloggingstida og jeg måtte skrive det på nytt.. Uff.. Hehe.. da ble jeg sur.. Men kan prøve å skrive det på nytt, sånn kjapt =D
----------------
Hei! Tusen takk for svar! =D
Syns det var utrolig bra forklart, i og med at dette er noe vikarer, studenter og personer på VG Debatt ikke har klart å forklare meg =D Likevel er det et par spørsmål der jeg fremdeles lurer på noe =) Håper du kan hjelpe med disse også =)

1)
Denne skjønte jeg ikke =p Sliter med å i det hele tatt begynne, og lage verditabell og slikt. Hvordan kan en oppgave vedr. dette se ut, og kan du lage løsning med utregning til oppgaven din? =) Hadde blitt mye verdsatt =) Var det forresten x og y som var variabler i eksempelet ditt, og a og b som skulle tilsvare aksene i koordinatsystemet?

5)
Så den integrerte av 2 er 2x+C ? =p Hva kan C-en være, og hvilken funksjon har den? Hvis den, som jeg tror, ikke har noen funksjon annet enn at den bare er der, hvorfor er den der da? Hvorfor må den være med? Hva er forskjellen? Hehe, vet ikke hva jeg skal spørre om, men når ting bare er sånn uten at jeg skjønner hvorfor, så plager det meg =p

6)
Selvfølgelig er ikke begge lineære funksjoner, min feil! =p Beklager, f(x)=3x^2 er en parabolsk funksjon, mens f(x)=x er en lineær funksjon. Sorry. Det visste jeg faktisk =p

7)
Nei, jeg kan ikke forklare hvorfor, men jeg ser at det funker når jeg løser den på ark Jeg ser også at dersom ejg vil flytte den mot venstre, kan formelen f.eks. bli f(x)=(x+2)^2 . Det tror jeg har noe med å gjøre at når to positive tall adderes og kvadreres får vi fort store verdier, og jo større tallene er, desto høyere blir verdiene. Og sliker det altså på høyre side av den parabolske grafen. Og motsatt på venstre side, på en måte, at da bør du ha en negativ verdi å addere sammen med en positiv for å komme til et lavt tall som kan kvadreres og bli f.eks. 0 eller 1. Selv om det selvfølgelig fort blir store verdier på den siden også. Vanskelig forklart, men jeg tror jeg skjønner det selv =p

10)
Aiaiai, TAKK =D
Prøvde enkelt med f(x)=2x^3+4x^2+x+5 og den ble ikke helt slik jeg hadde tenkt, selv om den definitivt hadde rette formen. Håper du skjønner hvordan jeg vil grafen skal se ut, når jeg sier det ser ut som det er like mye sånn felt over som under x-aksen, og topp og bunnpunkt er like langt fra origo. Altså en slags "perfekt" slik N-formet graf, der origo er midt på diagonalen i N-en Kan du gi meg et eksempel på en ligning som kan settes inn for å få en slik en? =D

11)
Ja, det var slik jeg tenkte =D
Men har det feltet et spesielt navn, eller kalles det noe sånt som "flaten under y=x^3 i intervallet 3 til 4" eller noe sånt? Og jeg skjønner heller ikke hvorfor det står dx etter integrasjonstegnet og x^3 .. hehe. Pappa sier det bare er sånn, men som sagt hater jeg slike ting.

Ellers vil jeg takke masse, og bare fortelle at det er slike svar som det du ga der, og det at jeg får det til (mye takket være deg) som virkelig gir meg inspirasjon og motivasjon til å fortsette =D Tusen hjertelig! Du skal vite at dette er noe jeg faktisk brenner for =)

Her en en forklaring på oppgave 1.

Tenk deg at du har en sirkel rundt origa.
Vi velger et punkt på denne linja, (fortrinnsvis i 1.kvadrat), punktet P.
Punktet P får da koordinatene (x,y)

La oss si at du har satt punktet P. For å gjøre det enkelt har jeg brukt runde tall. Du trekker en linje fra P ned på x-aksen. Fra dette stedet og til origo er linjen x. Linjen fra P ned til x-aksen er y. Så trekker du en linje fra P til origo og dette er da radiusen. Da får vi en rettvinkled trekant.

Pytagoras' læresetning sier at x^2 + y^2 = r^2


Har også en oppgave rundt dette temaet.

Oppgaven lyder slik:
1) [tex]x-2y=-5[/tex]
2) [tex]x^2 + y^2 = 25[/tex]
Tolk likningen grafisk

Likning 1 med hensyn på y
1) y= 0,5x+2,5

Putter vi denne inn i et koordinatsystem får vi en rett linje.

Graf 2 løser vi som gjort ovenfor og finner ut at radiusen må være roten av 25, i dette tilfellet 5. Så slår vi en sirkel rundt origo med radius 5 og finner ut at grafen krysser sirkelen i koordinatene (-5.0) og (3-4). Det betyr at grafene er like når x=-5 og y=0, og når x=3 og y=4.

Håper det hjalp deg!

Hilsen Marius
(10.klassing)

Realist1
11)
Ja, det var slik jeg tenkte =D
Men har det feltet et spesielt navn, eller kalles det noe sånt som "flaten under y=x^3 i intervallet 3 til 4" eller noe sånt? Og jeg skjønner heller ikke hvorfor det står dx etter integrasjonstegnet og x^3 .. hehe. Pappa sier det bare er sånn, men som sagt hater jeg slike ting.

[tex]A=\int_3^4 x^3dx\;[/tex]

dx kalles her integrasjonsvariabelen. Husk her integreres det mhp x (og ikke f.eks. y eller u)

Du kan jo sammenligne (X[sup]3[/sup] dx)=(y*x) med (høyden*bredde)=(y*x) = Areal (A) f.eks i en firkant som du er vant med fra ungdomsskolen. Men her går x mot null (dx). Deretter summeres (integralet) fra 3 til 4. Og vha av integraler kan areal (og volum) av mange ulike kurver, former og flater bestemmes, vel og merke hvis vi har funksjonen, f(x).

ta en titt på linken også:

http://www.matematikk.net/ressurser/per ... hp?aid=148

Da har jeg et lite spørsmål - hvorfor i all verden multipliserer man (av alle ting) med dx? Greit nok at det viser hva vi integrerer med hensyn på, men hvorfor står det egentlig multiplikasjonstegn foran?

Så vidt jeg har forstått (og det er kanskje ikke så mye ), så er dx ikke noe annet en notasjon. Det betyr ingenting.

Derfor er det litt ekstra merkelig at man bruker den i beregningene når man integrerer med substitusjon.

Realist1 wrote:1)
Denne skjønte jeg ikke =p Sliter med å i det hele tatt begynne, og lage verditabell og slikt. Hvordan kan en oppgave vedr. dette se ut, og kan du lage løsning med utregning til oppgaven din? =) Hadde blitt mye verdsatt =) Var det forresten x og y som var variabler i eksempelet ditt, og a og b som skulle tilsvare aksene i koordinatsystemet?

Se om du forstår gnom2050s argument. a og b har med forflytning av kurven i koordinatsystemet - a er x-koordinat og b er y-koordinat for senteret i sirkelen.

Realist1 wrote:5)
Så den integrerte av 2 er 2x+C ? =p Hva kan C-en være, og hvilken funksjon har den? Hvis den, som jeg tror, ikke har noen funksjon annet enn at den bare er der, hvorfor er den der da? Hvorfor må den være med? Hva er forskjellen? Hehe, vet ikke hva jeg skal spørre om, men når ting bare er sånn uten at jeg skjønner hvorfor, så plager det meg =p

Tenk deg at deriverer en funksjon y=2x+4. y'=2. Tenk deg at du så vil antiderivere y'. Da får du y=2x+C etter regelen over. Du ser konstanten falt vekk i derivasjonsprosessen. Hvis du vil finne tilbake til "originalfunksjonen" ved antiderivering/integrering trenger du altså FLERE opplysninger. Vi inkluderer C-en for å minne oss på at det antakeligvis er en konstant som mangler, som må bestemmes på andre måter. Mer om dette når du kommer til differensiallikninger. For nå, husk alltid å legge til integrasjonskonstanten C for ubestemte integraler.

Realist1 wrote: Nei, jeg kan ikke forklare hvorfor

Da anbefaler jeg deg å lage en verditabell som dette:
tall | f(x+1) = (x+1)^2 | f(x)=x^2 | f(x-1) = (x-1)^2
1 | (1+1)^2 = 2^2 | 1^2 | (1-1)^2 = 0^2
2 | (2+1)^2 = 3^2 | 2^2 | (2-1)^2 = 1^2
osv
Og se hva som skjer. Eksperimenter med ulike funksjoner.

Realist1 wrote:10)
Aiaiai, TAKK =D
Prøvde enkelt med f(x)=2x^3+4x^2+x+5 og den ble ikke helt slik jeg hadde tenkt, selv om den definitivt hadde rette formen. Håper du skjønner hvordan jeg vil grafen skal se ut, når jeg sier det ser ut som det er like mye sånn felt over som under x-aksen, og topp og bunnpunkt er like langt fra origo. Altså en slags "perfekt" slik N-formet graf, der origo er midt på diagonalen i N-en Kan du gi meg et eksempel på en ligning som kan settes inn for å få en slik en? =D

Lek deg litt med å grafe f(x) = K(x-a)x(x+a) for ulike tall a og K. Prøv å grafe for K(x-a)x(x-b), og se hva som skjer. Multipliser ut parentesene, og se hvordan disse ser ut på formen ax^3+bx^2+cx+d. Kan du kanskje klare å forklare formen på grafen nå?

Realist1 wrote:11)
Ja, det var slik jeg tenkte =D
Men har det feltet et spesielt navn, eller kalles det noe sånt som "flaten under y=x^3 i intervallet 3 til 4" eller noe sånt? Og jeg skjønner heller ikke hvorfor det står dx etter integrasjonstegnet og x^3 .. hehe. Pappa sier det bare er sånn, men som sagt hater jeg slike ting.

Har aldri hørt flaten bli nevnt ved noe spesielt navn. "Arealet under grafen fra a til b" eller liknende er nok det som kommer til å dukke opp i VGS-pensumet. (Mye glede kommer når du så hopper over på komplekse tall )

Når det kommer til notasjonen, tror jeg nok dette kommer fra synet på dy og dx som infintesimale/"uendelig små" lengder. Når du differensierer en funksjon, finner du en funksjon for stigningstallet til tangenten til den opprinnelige funksjonen. Jeg henviser til bilde



Tenk deg at du forstørrer opp funksjonen rundt tangeringspunktet, markert med et rødt merke, "uendelig mye." Da vil grafen i nærheten av det punktet være så lineær som den er mulig å få den - og ha samme "stigningstall" som tangenten i punktet (som jeg har prøvd å illustrere.) Hvis vi kaller den ørlille forandringen i funksjonsverdi rundt punktet for dy og den ørlille forandringen i x for dx, ser vi lett hvorfor stigningstallet til tangenten da må være dy/dx. Du kan dermed tenke på dy og dx som "uendelig små" lengder. Dersom dy/dx = 3, kan du tenke deg at dy = 3dx, og altså at "den uendelig lille lengden dy er 3 ganger lenger enn den uendelig lille lengden dx" (Litt "mind bending" som må til her. Husk forresten at siden lengdene dy og dx er "uendelig små" lengder, kan du ikke behandle dem som "vanlige tall" i alle sammengenger")

Tenk deg nå at du vil finne arealet til en graf. Du kan tilnærme deg arealet ved å summere sammen arealet av flere søyler under grafen:



Dom du ser er arealet av en slik søyle gitt ved f(x)*Δx. Nå nærmer vi oss kanskje en forklaring på hvorfor integrasjonsnotasjonen har blitt som den har blitt. Hva skjer når vi så summer "uendelig tynne" søyler? Vi får arealet til funksjonen selv!



(Husk at søylene egentlig er uendelig tynne, så "gapet" mellom funksjonsgrafen og søylene er uendelig lite )

La oss ta en titt på funksjonsnotasjonen:
[tex]\int _a ^b f(x) {\rm d}x[/tex]

Tenk på integraltegnet som et "summetegn" Du summerer sammen arealene av alle de "uendelig små" søylene fra x=a til x=b. Arealet av søylene er gitt ved f(x)*dx for hver x-verdi. Gir det mer mening nå?

Denne modellen forklarer ikke helt utfyllende hvordan infinitesimaler oppfører seg, men bør gi deg en forståelse av hvordan notasjonen har blitt slik den har blitt.

Ja, takk
Skal leke meg med grafer og verditabeller og slikt når jeg får litt bedre tid, men skjønte hvertfall mer om blant annet funksjonen til dx
Takker

PS: Men jeg kom på en ting til jeg lurte på. Hvis du f.eks har kurven f(x)=x^2 og du skal finne arealet under grafen i intervallet 1 til 2 på x-aksen, men helt ned til -3 på y-aksen. hva gjør du da?

Og kan man få en oppgave som ber deg finne arealet INNI selve grafen, f.eks. fra toppunkt til f.eks. 5 på y-aksen?