matematikk.net

Er f(x)= x[sup]3[/sup] - 3x[sup]2[/sup] + 3x en tredjegradsfunksjon (eller tredjegradslikning), eller kan den løses i en 2.gradslikning? Har nemlig prøvd sistenevnte, men sjekker først om den er løsbar ved hjelp av d (d= b[sup]2[/sup]-4ac) og da blir svaret mindre enn 0...

Dersom det er en tredjegradsfunksjon, hvordan går jeg frem? Skal nemlig finne nullpunkt og ekstremalpunkt samt tegne grafen.

Dette er en tredjegradsfunksjon ja, men den er heldigvis
x*(en annengradsfunksjon)

Nullpunktene av et produkt er nullpunktene til hver av faktorene. Altså hvis a*b= 0 må enten a eller b være 0.
Dermed er nullpunktene:
x=0 i tillegg til nullpunktene til annengradsfunksjonen du får når du faktoriserer ut en x.

Ekstremalpunkter finner du på vanlig måte:
1. Deriver (hele tredjegradsuttrykket)
2. Sett den deriverte (i dette tilfellet får du et annengradsuttrykk) lik 0
3. Pass på at den deriverte skifter fortegn, ellers er det ikke et ekstremalpunkt!

ThomasB wrote:
Ekstremalpunkter finner du på vanlig måte:
1. Deriver (hele tredjegradsuttrykket)
2. Sett den deriverte (i dette tilfellet får du et annengradsuttrykk) lik 0
3. Pass på at den deriverte skifter fortegn, ellers er det ikke et ekstremalpunkt!

Jeg har derivert og fått 3x[sup]2[/sup]-6x+3, så trodde jeg at dette skulle settes inn i en andregradsligning slik at jeg fikk (i dette tilfelle x=0 og x=12) Men så sto jeg litt fast.. Og jeg skjønner ikke det med å skifte fortegn, skal alle - bli pluss og omvendt eller har jeg derivert feil slik at jeg med riktig svar lettere forstår hva du mener?

Kan du ta hele prosessen litt steg for steg?

Du har derivert riktig, så setter du det lik 0:

3x[sup]2[/sup]-6x+3=0
Den vanlige formelen gir da at vi har løsningen x=1 (begge mulighetene gir samme x-verdi)
Det vil si at den deriverte kan skrives som
3(x-1)*(x-1) = 3*(x-1)[sup]2[/sup]

Det er ganske lett å se at dette alltid må være positivt eller lik 0. Den deriverte blir aldri negativ!

Svaret blir derfor:
Den deriverte skifter ikke fortegn, dermed har ikke tredjegradsuttrykket noen ekstremalpunkter.

Nå maser jeg fælt, men har eksamen om en måned og stresser litt med å gå gjennom pensum...Fikk tips til oppgaven og der står det at ekstremalpunktet er et terrassepunkt. Hva betyr det da?

Og hva mener du med den "vanlige formelen"?

At den deriverte er 0 betyr at kurven er horisontal i punktet. Det gir 3 muligheter:
1. Toppunkt
2. Bunnpunkt
3. Terrassepunkt


Med ekstremalpunkter mener vi vanligvis toppunkt/bunnpunkt. Dette fordi kurven da når en maks/min-verdi. Da vet vi at den deriverte må skifte fortegn. Klikk her

Jeg sa at funksjonen ikke har noen ekstremalpunkter, fordi jeg etter å har regnet litt fant ut at den deriverte aldri var negativ. Den var 0 i ett punkt, og da må dette være et terrassepunkt.

Med terrassepunkt menes at kurven flater ut et øyeblikk før den fortsetter i samme retning, den når da ikke en maks/min-verdi. Et eksempel er funksjonen i regneoppgaven din:



Med "den vanlige formelen" mente jeg formelen for løsning av andregradslikninger:
ax[sup]2[/sup] + bx + c = 0
har løsningene
x = (-b + [rot][/rot](b[sup]2[/sup] - 4ac))/2a
og x = (-b - [rot][/rot](b[sup]2[/sup] - 4ac))/2a
(Hvis tallet under rottegnet blir negativt har vi ingen løsninger)

ThomasB wrote: Ekstremalpunkter finner du på vanlig måte:
1. Deriver (hele tredjegradsuttrykket)
2. Sett den deriverte (i dette tilfellet får du et annengradsuttrykk) lik 0
3. Pass på at den deriverte skifter fortegn, ellers er det ikke et ekstremalpunkt!

Det dette betyr er at hvis den deriverte er 0 men IKKE skifter fortegn, da er det et terrassepunkt. Dette kalles vanligvis ikke et ekstremalpunkt.